Résoudre l'équation suivante dans l'intervalle [0, 2π[ :
2sin²(x) - 3sin(x) + 1 = 0
On vous demande de transformer cette équation en posant t = sin(x) et ensuite de résoudre l'équation quadratique obtenue.
On pose t = sin(x). L'équation devient :
2t² - 3t + 1 = 0.
On cherche à factoriser l'équation. On teste la factorisation suivante :
(2t - 1)(t - 1) = 0.
Vérifions :
- Le produit des premiers termes : 2t × t = 2t².
- Les produits croisés : 2t × (-1) = -2t et (-1) × t = -t.
- La somme : -2t - t = -3t.
- Le produit des derniers termes : (-1) × (-1) = 1.
Ainsi, l'équation se factorise bien et on obtient :
2t - 1 = 0 ou t - 1 = 0.
D'où les solutions :
t = 1/2 ou t = 1.
On revient à l'équation initiale en posant sin(x) = t.
Pour t = 1/2, on résout sin(x) = 1/2 dans l'intervalle [0, 2π[.
On sait que sin(π/6) = 1/2 et que, par symétrie dans le deuxième quadrant, sin(5π/6) = 1/2.
Pour t = 1, on a sin(x) = 1, ce qui donne x = π/2.
Conseil : Vérifie toujours que tes solutions pour sin(x) sont comprises dans [-1, 1] et n'oublie pas de consulter le cercle trigonométrique !
Soit α un angle tel que :
Déterminer, en justifiant l'utilisation des formules d'angles associés, les valeurs suivantes :
Rappelons les formules d'angles associés :
En appliquant ces formules avec cos(α)=0.6 et sin(α)=0.8, nous obtenons :
Astuce : Garde bien en tête ces formules, elles te seront utiles pour transformer rapidement tes angles !
Résoudre l'équation suivante :
cos(4x + π/2) = cos(2x – π/3)
On utilisera la propriété :
cos(A) = cos(B) ⇔ A = B + 2kπ ou A = –B + 2kπ avec k ∈ ℤ.
On note :
A = 4x + π/2
B = 2x – π/3
On écrit :
4x + π/2 = (2x – π/3) + 2kπ
Pour isoler x, on soustrait 2x des deux côtés :
2x + π/2 = -π/3 + 2kπ
Ensuite, on isole 2x :
2x = -π/3 - π/2 + 2kπ
Pour additionner -π/3 et -π/2, on met sur le même dénominateur :
-π/3 = -2π/6 et -π/2 = -3π/6, donc -2π/6 - 3π/6 = -5π/6.
Ainsi, on a :
2x = -5π/6 + 2kπ
En divisant par 2 :
x = -5π/12 + kπ
On écrit :
4x + π/2 = - (2x – π/3) + 2kπ
Développons le côté droit :
- (2x – π/3) = -2x + π/3, d'où :
4x + π/2 = -2x + π/3 + 2kπ
Ajoutons 2x aux deux côtés :
6x + π/2 = π/3 + 2kπ
Puis isolons 6x :
6x = π/3 - π/2 + 2kπ
Pour calculer π/3 - π/2, on met sur le même dénominateur :
π/3 = 2π/6, π/2 = 3π/6, donc 2π/6 - 3π/6 = -π/6.
On obtient alors :
6x = -π/6 + 2kπ
Et en divisant par 6 :
x = -π/36 + kπ/3
Les solutions de l'équation sont données par les deux familles :
Rappel : Pour résoudre ce type d'équation, pense à bien identifier A et B, puis traite séparément chaque cas.
Déterminer la mesure principale (l'angle compris entre –π et π) des angles suivants :
Rappel : Deux angles sont coterminaux s'ils diffèrent d'un multiple entier de 2π.
2π = 14π/7.
Divisons 125 par 14 :
125 = 8 × 14 + 13, donc
125π/7 = 8 × (14π/7) + 13π/7 = 8×2π + 13π/7.
L'angle réduit est 13π/7. Comme 13π/7 est supérieur à π (puisque π = 7π/7), on soustrait 2π :
13π/7 - 14π/7 = -π/7.
La mesure principale de θ₁ = 125π/7 est -π/7.
2π = 8π/4.
On part de θ₂ = -43π/4 et on cherche un entier k tel que :
θ_p = -43π/4 + 2kπ = -43π/4 + 8kπ/4 soit dans l'intervalle [–π, π[.
Essayons successivement :
k = 1 : -43π/4 + 8π/4 = -35π/4 (encore trop petit)
k = 2 : -43π/4 + 16π/4 = -27π/4
k = 3 : -43π/4 + 24π/4 = -19π/4
k = 4 : -43π/4 + 32π/4 = -11π/4
k = 5 : -43π/4 + 40π/4 = -3π/4 qui est bien dans [–π, π[.
La mesure principale de θ₂ = -43π/4 est -3π/4.
Astuce : Vérifie toujours l'intervalle de l'angle réduit sur le cercle trigonométrique pour être sûr.
Soit a un angle tel que :
Déterminer sin(a).
On a l'identité :
sin²(a) + cos²(a) = 1.
En isolant sin²(a) :
sin²(a) = 1 - cos²(a).
Avec cos(a) = -0.8, on a :
cos²(a) = (-0.8)² = 0.64.
Donc,
sin²(a) = 1 - 0.64 = 0.36.
On obtient :
sin(a) = ±√0.36 = ±0.6.
L'intervalle [π/2, π] correspond au deuxième quadrant où le sinus est positif.
Ainsi, on retient :
sin(a) = 0.6.
Conseil : Pense toujours à vérifier le signe de sin(a) en fonction de l'intervalle de l'angle sur le cercle trigonométrique.
Ces exercices couvrent différents aspects de la trigonométrie : résolution d'équations, utilisation des formules d'angles associés, calcul de la mesure principale d'un angle et détermination du sinus à partir du cosinus. En suivant chaque étape et en vérifiant tes calculs, tu progresseras dans ta compréhension des concepts.
Continue de pratiquer et n'hésite pas à revenir sur ces méthodes pour t'aider à assimiler toutes les notions !