Exercice 2 : Loi exponentielle – Durée de vie d’un équipement

Enoncé :
La durée de vie d’un équipement suit la loi exponentielle (t en jours) dont la fonction de fiabilité est :
R(t) = e^−λt.
1. Déterminer la probabilité que cet équipement ait une durée de vie supérieure à 2500 jours.
2. Calculer la durée de vie moyenne.

Correction :

1. La probabilité que la durée de vie dépasse 2500 jours est donnée par :
   P(T > 2500) = R(2500) = e^{−λ × 2500}.
2. Pour la loi exponentielle, l'espérance (MTBF) est :
   MTBF = 1/λ.
   La durée de vie moyenne de l’équipement est donc 1/λ jours.

Exercice 3 : Loi exponentielle – Dépassement du double de l’espérance

Enoncé :
La durée de vie d’un composant suit une loi exponentielle. Calculer la probabilité qu’il dépasse le double de son espérance.

Correction :

Pour une loi exponentielle, l’espérance est E(T) = 1/λ. Le double de l’espérance est donc 2/λ. La probabilité recherchée est :
P(T > 2/λ) = e^−λ(2/λ) = e⁻² ≈ 0,1353.
Autrement dit, environ 13,5 % des composants dépassent le double de leur espérance.

Exercice 4 : Loi exponentielle – Calcul du taux d’avarie, MTBF et détermination d’un temps caractéristique

Enoncé :
La variable aléatoire T, qui associe à un composant sa durée de vie (exprimée en heures), suit une loi exponentielle.
1. Calculer le taux d’avarie (λ) sachant qu’on connaît une valeur caractéristique (par exemple, F(t₀) = p pour un t₀ donné).
2. Calculer la MTBF du composant.
3. Déterminer la valeur t₀ pour laquelle, par exemple, R(t₀) = 0,5 (la médiane).

Correction :

1. Pour une loi exponentielle, la fonction de défaillance est F(t) = 1 − e^−λt. Si l'on connaît, par exemple, que F(t₀) = p, alors :
   p = 1 − e^−λt₀ ⟹ λ = −(1/t₀) × ln(1 − p).
2. La MTBF est :
   MTBF = 1/λ.
3. Pour déterminer t₀ tel que R(t₀) = 0,5 (c'est-à-dire la médiane), on a :
   R(t₀) = e^−λt₀ = 0,5 ⟹ t₀ = ln(2)/λ.

Exercice 5 : Loi exponentielle – Durée de vie d’une ampoule

Enoncé :
La durée de vie d’une ampoule suit la loi exponentielle (en heures) définie par R(t) = e^−λt.
1. Calculer F(t) = 1 − R(t).
2. Calculer la MTBF.
3. Déterminer la valeur de t pour laquelle R(t) atteint une valeur donnée (par exemple, R(t) = r, avec r spécifié).

Correction :

1. La fonction de défaillance est :
   F(t) = 1 − e^−λt.
2. La MTBF est donnée par :
   MTBF = 1/λ.
3. Pour déterminer t tel que R(t) = r, on résout :
   e^−λt = r ⟹ t = −(ln r)/λ.

Exercice 9 : Étude par la loi de Weibull d’un moteur

Enoncé :
On dispose des temps de bon fonctionnement (en heures) suivants pour un moteur :
432, 335, 244, 158, 77, 535, 646, 766, 897, 4494, 3454, 2846, 2414, 1040, 2079, 1806, 1574, 1374, 1374, 1198.
Questions :
- Déterminer les paramètres de la loi de Weibull.
- De quelle loi cette loi de Weibull peut-elle se rapprocher ?
- Quelle partie de la courbe en baignoire est concernée ?
- Calculer la MTBF de deux manières.
- Déterminer la fiabilité au bout de 500 heures.

Correction :

1. Mise en ordre et estimation :
   Triez les 20 valeurs par ordre croissant (par exemple : 77, 158, 244, …, 4494).
   Utilisez la méthode des rangs médians ou moyens pour estimer F(t_i) et R(t_i) = 1 − F(t_i).
2. Transformation :
   On linéarise la loi de Weibull via la transformation suivante :
   ln(−ln(R(t))) = β · ln(t) − β · ln(η).
   La régression linéaire sur le nuage de points permet d'estimer :
   β ≈ 1.9 et η ≈ 1250 heures (valeurs indicatives).
3. Comparaison :
   Si β = 1, la loi se réduit à une loi exponentielle. Ici, β > 1 indique une augmentation du taux de défaillance (phase d’usure).
4. Calcul de la MTBF :
   Méthode théorique (fonction Gamma) :
   MTBF = η · Γ(1 + 1/β) ≈ 1250 × Γ(1 + 1/1.9) ≈ 1250 × 0.90 ≈ 1125 heures.
   Méthode empirique : la moyenne arithmétique des TBF observés (par exemple, ≈ 1387 heures).
5. Fiabilité à 500 heures :
   Pour la loi de Weibull :
   R(500) = exp[−(500/η)^β] = exp[−(500/1250)^1.9].
   Avec (500/1250) = 0.4 et 0.4^1.9 ≈ 0.18, on obtient R(500) ≈ exp(−0.18) ≈ 0.84 (84 %).

Exercice 10 : Étude de roulements

Données :
Durée de vie (nombre de cycles avant rupture) de 6 roulements :
4×10⁵, 1,3×10⁵, 9,8×10⁵, 2,7×10⁵, 6,6×10⁵, 5,2×10⁵.

Correction :

1. Mise en ordre et calcul des rangs médians :
   Classement par ordre croissant :
   t₁ = 1,3×10⁵, t₂ = 2,7×10⁵, t₃ = 4×10⁵, t₄ = 5,2×10⁵, t₅ = 6,6×10⁵, t₆ = 9,8×10⁵.
   Pour n = 6, la formule (méthode des rangs médians) est :
   F(t_i) = (i − 0.3) / 6.4.
   Par exemple, pour i = 1 : F(t₁) ≈ 0.1094, donc R(t₁) ≈ 0.8906.
2. Estimation des paramètres de la loi de Weibull :
   On considère la loi de Weibull sans décalage (γ = 0) :
   R(t) = exp[−(t/η)^β].
   En transformant : ln(−ln(R(t))) = β ln(t) − β ln(η).
   Une régression linéaire sur ces points permet d'estimer :
   β ≈ 1.46 et η ≈ 6.07×10⁵ cycles.
3. Calcul de la MTBF :
   MTBF = η · Γ(1 + 1/β).
   Avec β ≈ 1.46 et Γ(1 + 1/1.46) ≈ 0.90, on obtient MTBF ≈ 6.07×10⁵ × 0.90 ≈ 5.46×10⁵ cycles.
4. Détermination du TBF nominal L₁₀ :
   L₁₀ correspond à la durée pour laquelle R(L₁₀) = 0.90.
   On a : exp[−(L₁₀/η)^β] = 0.90 ⟹ (L₁₀/η)^β = −ln(0.90).
   Avec ln(0.90) ≈ −0.10536, on trouve L₁₀ ≈ 0.214 × η ≈ 1.30×10⁵ cycles.
5. Écriture des équations de la loi de Weibull :
   Avec γ = 0, β ≈ 1.46 et η ≈ 6.07×10⁵, on a :
   Fonction de fiabilité : R(t) = exp[−(t/6.07×10⁵)^1.46].
   Fonction de défaillance : F(t) = 1 − R(t).
   Densité : f(t) = (1.46/6.07×10⁵) (t/6.07×10⁵)^0.46 exp[−(t/6.07×10⁵)^1.46].
   Taux d’avarie : λ(t) = f(t) / R(t) = (1.46/6.07×10⁵) (t/6.07×10⁵)^0.46.
6. Tracé :
   Sur un papier de Weibull, on trace ln(−ln(R(t))) en fonction de ln(t). La droite obtenue a pour équation :
   ln(−ln(R(t))) = 1.46 ln(t) − 1.46 ln(6.07×10⁵).

Conclusion : β ≈ 1.46, η ≈ 6.07×10⁵ cycles, MTBF ≈ 5.46×10⁵ cycles, et L₁₀ ≈ 1.30×10⁵ cycles.