Les automatismes de calcul algébrique indispensables en électricité, instrumentation, régulation et traitement des signaux.
Pour chaque exercice, cherche d’abord sans aide. Ouvre un indice seulement si tu bloques, puis utilise le corrigé pour vérifier la méthode, le résultat et les unités.
Un seul chapitre, plusieurs portes d’entrée
Les niveaux ne sont pas des notes. Ils indiquent le rôle de l’exercice dans la progression.
À plusieurs reprises, on te demandera de contrôler : signe, ordre de grandeur, unité, valeur interdite, substitution dans l’expression initiale ou cohérence avec la situation physique.
Passer d’un produit à une somme, puis retrouver les facteurs
Développer : \(k(a+b)=ka+kb\). Factoriser est l’opération inverse : \(ka+kb=k(a+b)\).
Un signe moins placé devant une parenthèse change le signe de chacun de ses termes : \(-(a-b)=-a+b\).
Exemple : \((2x-3)(x+4)=2x^2+8x-3x-12=2x^2+5x-12\).
À simplifier une expression d’impédance, mettre un facteur commun en évidence dans une fonction de transfert et développer des produits faisant intervenir la variable de Laplace \(p\).
Sans aide, calculer \(3(x-2)\), \(-2(x-3)\) et factoriser \(5x+10\). Trois réponses justes : commencer à l’exercice 1.3.
Développer : a) \(3(x+2)\) ; b) \(3(x-2)\) ; c) \(-3(x-2)\) ; d) \(-4(2-x)\).
Dans d), \((-4)\times(-x)=+4x\).
a) \(3x+6\). b) \(3x-6\). c) \(-3x+6\). d) \(-8+4x\), soit \(4x-8\).
Piège : le signe moins est lui aussi multiplié.
Développer et réduire : a) \(3(2R-1)\) ; b) \(5(3-p)-3(7-2p)\) ; c) \(R(2R+3)-5R\).
Factoriser : d) \(R^2-2R\) ; e) \(4(R-1)-(R-1)(R+1)\) ; f) \((p+1)(p+2)-p-1\).
Pour d), le facteur commun est \(R\). Pour e), il est \(R-1\).
Dans f), écrire \(-p-1=-(p+1)\).
a) \(6R-3\).
b) \(15-5p-21+6p=\)\(p-6\).
c) \(2R^2+3R-5R=\)\(2R^2-2R\).
d) \(R(R-2)\).
e) \((R-1)[4-(R+1)]=(R-1)(3-R)\).
f) \((p+1)[(p+2)-1]=\)\((p+1)^2\).
Développer et réduire : a) \((1-R)(3+R)\) ; b) \((2R-1)(4R-1)-8R^2-1\) ; c) \((p-1)(-p^2+2p+1)\).
Écrire les quatre produits avant de regrouper les termes de même degré.
a) \(3+R-3R-R^2=\)\(-R^2-2R+3\).
b) \(8R^2-6R+1-8R^2-1=\)\(-6R\).
c) \(-p^3+2p^2+p+p^2-2p-1=\)\(-p^3+3p^2-p-1\).
Reconnaître une structure avant de calculer
Attention : \(a^2+b^2\) ne se factorise pas avec ces identités dans les nombres réels.
Développer \((x+3)^2\) et factoriser \(x^2-25\). Deux réponses justes : passer à l’exercice 2.2.
Développer : a) \((x+4)^2\) ; b) \((2x-3)^2\). Factoriser : c) \(x^2-16\) ; d) \(9x^2-25\).
Dans b), \(a=2x\) et \(b=3\). Dans d), \(9x^2=(3x)^2\).
a) \(x^2+8x+16\). b) \(4x^2-12x+9\).
c) \((x-4)(x+4)\). d) \((3x-5)(3x+5)\).
Associer les expressions qui représentent le même polynôme, puis repérer toutes celles qui restent sans partenaire :
\(4x^2-1\), \((2x-1)(2x+1)\), \(2x^2+4x+1\), \(16x^2-1\), \((4x+1)^2\), \((4x-1)^2\), \(4x^2+4x+1\), \(4x^2-4x+1\).
La seule paire présente dans cette liste est \((2x-1)(2x+1)=4x^2-1\).
Les six autres expressions restent sans partenaire. En effet, \((4x+1)^2=16x^2+8x+1\), \((4x-1)^2=16x^2-8x+1\), \(4x^2+4x+1=(2x+1)^2\), \(4x^2-4x+1=(2x-1)^2\), et les partenaires de \(16x^2-1\) et de \(2x^2+4x+1\) ne figurent pas dans la liste.
Valeurs interdites, simplification, addition et quotient
Une fraction n’existe que si son dénominateur est non nul. On simplifie des facteurs, jamais les termes d’une somme.
Addition : \(\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}\). Division : \(\dfrac ab\div\dfrac cd=\dfrac ab\times\dfrac dc\), avec tous les dénominateurs non nuls.
À manipuler des impédances, des gains et des fonctions de transfert. Les valeurs interdites correspondent aux valeurs pour lesquelles l’expression n’est pas définie.
Simplifier \(\dfrac{18}{24}\), calculer \(\dfrac13+\dfrac16\), donner la valeur interdite de \(\dfrac{1}{p+2}\). Tout juste : commencer en 3.3.
Simplifier : a) \(\dfrac{18}{24}\) ; b) \(\dfrac{6x}{9x}\) ; c) \(\dfrac{6x^2}{9x}\) ; d) \(\dfrac{x(x+2)}{x(x-3)}\). Indiquer les valeurs interdites.
Avant toute simplification, lire les facteurs du dénominateur.
a) \(\dfrac34\).
b) Pour \(x\ne0\), \(\dfrac{6x}{9x}=\)\(\dfrac23\).
c) Pour \(x\ne0\), \(\dfrac{6x^2}{9x}=\)\(\dfrac{2x}{3}\).
d) Valeurs interdites : \(x\ne0\) et \(x\ne3\). Après simplification, \(\dfrac{x+2}{x-3}\), tout en conservant les deux restrictions de l’expression initiale.
a) Simplifier \(\dfrac{27}{24}\) et \(\dfrac{104}{84}\). b) Compléter \(\dfrac4x=\dfrac{\dots}{x^2}\). c) Factoriser et simplifier \(\dfrac{z^2-z}{z(z-2)}\).
a) \(\dfrac{27}{24}=\)\(\dfrac98\) et \(\dfrac{104}{84}=\)\(\dfrac{26}{21}\).
b) Pour \(x\ne0\), on multiplie haut et bas par \(x\) : \(\dfrac4x=\dfrac{4x}{x^2}\).
c) Le numérateur vaut \(z(z-1)\). Valeurs interdites : \(z\ne0\), \(z\ne2\). Ainsi \(\dfrac{z-1}{z-2}\).
Calculer : a) \(\dfrac25+\dfrac15\) ; b) \(\dfrac13+\dfrac16\) ; c) \(\dfrac34-\dfrac23\) ; d) \(\dfrac1p-\dfrac1{p+20}\), en indiquant les valeurs interdites.
Pour b), choisir 6 comme dénominateur commun.
Pour d), le dénominateur commun est \(p(p+20)\).
a) \(\dfrac35\). b) \(\dfrac26+\dfrac16=\)\(\dfrac12\). c) \(\dfrac9{12}-\dfrac8{12}=\)\(\dfrac1{12}\).
d) Valeurs interdites : \(p\ne0\) et \(p\ne-20\).
\(\dfrac1p-\dfrac1{p+20}=\dfrac{p+20-p}{p(p+20)}=\)\(\dfrac{20}{p(p+20)}\).
Calculer : a) \(\left(\dfrac34\right)\div\left(\dfrac45\right)\) ; b) \(\left(\dfrac{-7}{-21}\right)\div\left(\dfrac{-9}{-6}\right)\).
Transformer : c) \(\dfrac{\dfrac{1}{p+1}}{p+1}\) ; d) \(\dfrac{\dfrac{x+2}{x-1}}{\dfrac{1}{x-1}}\). Indiquer les restrictions.
a) \(\dfrac34\times\dfrac54=\)\(\dfrac{15}{16}\).
b) \(\dfrac{-7}{-21}=\dfrac13\) et \(\dfrac{-9}{-6}=\dfrac32\). Donc \(\dfrac13\div\dfrac32=\)\(\dfrac29\).
c) \(p\ne-1\) et \(\dfrac{1}{(p+1)^2}\).
d) Il faut \(x\ne1\). La fraction du bas \(\dfrac{1}{x-1}\) n’est jamais nulle sur ce domaine. Le produit par son inverse donne \(x+2\), avec \(x\ne1\).
Saisir, calculer et contrôler
Pour \(a\ge0\), \(\sqrt{a^2}=|a|\). En particulier, une racine carrée est toujours positive ou nulle.
a) Calculer \(\sqrt{144}\), \(\sqrt{2^2+3^2}\) et \(\dfrac{10}{\sqrt2}\) au centième. b) Expliquer pourquoi \(\sqrt{(-5)^2}=5\), et non \(-5\).
a) 12 ; \(\sqrt{13}\approx\)3,61 ; \(\dfrac{10}{\sqrt2}\approx\)7,07.
b) \((-5)^2=25\) et le symbole \(\sqrt{\phantom{x}}\) désigne la racine positive : \(\sqrt{25}=5\).
1. Une impédance a pour composantes \(R=120\,\Omega\) et \(X=160\,\Omega\). Calculer \(|Z|=\sqrt{R^2+X^2}\).
2. Pour \(R=47\,\Omega\) et \(X=82\,\Omega\), calculer \(|Z|\) à l’ohm près.
3. Un signal sinusoïdal a \(U_{max}=12,0\,V\). Calculer \(U_{eff}=\dfrac{U_{max}}{\sqrt2}\) au dixième de volt.
Saisir toute la somme sous la racine. Conserver les chiffres avant l’arrondi final.
1. \(|Z|=\sqrt{120^2+160^2}=\sqrt{40000}=\)\(200\,\Omega\).
2. \(|Z|=\sqrt{47^2+82^2}=\sqrt{8933}\approx94,51\), soit \(95\,\Omega\).
3. \(U_{eff}=\dfrac{12,0}{\sqrt2}\approx8,485\), soit \(8,5\,V\).
Contrôle technicien : le module est supérieur à chacune de ses deux composantes ; la valeur efficace est inférieure à la valeur maximale.
Relier l’écriture scientifique aux unités du technicien
\(a^n a^p=a^{n+p}\), \(\dfrac{a^n}{a^p}=a^{n-p}\), \(a^{-n}=\dfrac{1}{a^n}\).
| Préfixe | Symbole | Facteur | Exemple |
|---|---|---|---|
| méga | M | \(10^6\) | \(1\,M\Omega=10^6\,\Omega\) |
| kilo | k | \(10^3\) | \(1\,k\Omega=10^3\,\Omega\) |
| milli | m | \(10^{-3}\) | \(1\,mA=10^{-3}\,A\) |
| micro | µ | \(10^{-6}\) | \(1\,µA=10^{-6}\,A\) |
| nano | n | \(10^{-9}\) | \(1\,ns=10^{-9}\,s\) |
Convertir \(4,7\,k\Omega\) en ohms et \(0,012\,A\) en milliampères. Tout juste : passer à 5.2.
Calculer : a) \(2^3\times2^4\) ; b) \(3^3\times3^{-5}\) ; c) \(\dfrac{10^3\times10^{-5}}{10^{-6}\times10^3}\).
a) \(2^7=\)128. b) \(3^{-2}=\)\(\dfrac19\).
c) Au numérateur \(10^{-2}\), au dénominateur \(10^{-3}\), donc \(10^{-2-(-3)}=\)\(10\).
Convertir : a) \(4,7\,k\Omega\) en \(\Omega\) ; b) \(2,2\,M\Omega\) en \(\Omega\) ; c) \(12\,mA\) en A ; d) \(350\,µA\) en mA ; e) \(0,025\,s\) en ms ; f) \(2,5\,MHz\) en Hz.
a) \(4700\,\Omega\). b) \(2,2\times10^6\,\Omega\). c) \(0,012\,A\).
d) \(350\times10^{-6}\,A=0,350\times10^{-3}\,A\), donc \(0,350\,mA\).
e) \(25\,ms\). f) \(2,5\times10^6\,Hz\).
Calculer la tension \(U=RI\) pour \(R=4,7\,k\Omega\) et \(I=12\,mA\).
Convertir en unités de base, ou remarquer que \(k\Omega\times mA=V\).
\(U=(4,7\times10^3)(12\times10^{-3})\,\Omega\cdot A=4,7\times12\,V\).
\(U=56,4\,V\).
Contrôle technicien : \(5\,k\Omega\times10\,mA\) donne environ \(50\,V\). Le résultat est cohérent.
Faire la même opération des deux côtés
Une égalité reste vraie si l’on effectue la même opération sur ses deux membres. À la fin, vérifier la solution dans l’équation initiale.
Résoudre \(x-3=5\) et \(-2x=4\), puis vérifier. Tout juste : commencer à 6.2.
Résoudre : a) \(x-3=5\) ; b) \(-2x=4\) ; c) \(3x+4=5\) ; d) \(3x-2=-2x+4\) ; e) \((2x-3)(5x-4)=2(2x-3)^2\).
Dans e), tout ramener d’un côté puis factoriser par \(2x-3\).
a) \(x=8\). b) \(x=-2\). c) \(x=\dfrac13\). d) \(5x=6\), donc \(x=\dfrac65\).
e) \((2x-3)[(5x-4)-2(2x-3)]=0\), soit \((2x-3)(x+2)=0\). Ainsi \(x=\dfrac32\) ou \(x=-2\).
Un capteur de température sur la plage 0–100 °C délivre un courant \(I\) en mA tel que \(I=0,16T+4\), où \(T\) est en °C. Le courant mesuré vaut \(13,2\,mA\). Calculer \(T\).
Soustraire 4, puis diviser par 0,16.
\(13,2=0,16T+4\), donc \(9,2=0,16T\), puis \(T=57,5\,^\circ C\).
Contrôle technicien : \(0,16\times57,5+4=13,2\,mA\). La température appartient bien à la plage 0–100 °C.
Attention au sens de l’inégalité
Ajouter ou soustraire un même nombre conserve le sens. Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens : si \(-3x>12\), alors \(x<-4\).
Résoudre : a) \(3x>12\) ; b) \(-3x>12\) ; c) \(-2x+5\le9\).
a) \(x>4\). b) On divise par \(-3\), donc \(x<-4\).
c) \(-2x\le4\), puis division par \(-2\) : \(x\ge-2\).
Une alarme de surpression se déclenche lorsque la pression \(p\), en bar, vérifie \(3p-2>10\). Déterminer les pressions qui déclenchent l’alarme.
\(3p>12\), donc \(p>4\,bar\).
À \(p=4\,bar\), le membre de gauche vaut 10 : l’inégalité est stricte, l’alarme ne se déclenche pas encore.
Le transmetteur précédent suit \(I=0,16T+4\). Déterminer les températures correspondant à la plage admissible \(4\le I\le20\,mA\).
\(4\le0,16T+4\le20\). On soustrait 4 : \(0\le0,16T\le16\). On divise par 0,16, positif : \(0\le T\le100\,^\circ C\).
Choisir la méthode la moins coûteuse
Résoudre \(y=2x+1\) et \(x+y=7\).
On remplace \(y\) : \(x+2x+1=7\), donc \(3x=6\) et \(x=2\). Puis \(y=2\times2+1=5\).
Solution : \((x;y)=(2;5)\).
a) Par substitution : \(2x-3y=7\) et \(x+5y=-3\).
b) Par combinaison linéaire : \(2a+3b=6\) et \(a-2b=2\).
a) De la seconde équation, \(x=-3-5y\). Dans la première : \(2(-3-5y)-3y=7\), donc \(-13y=13\), \(y=-1\), puis \(x=2\). \((x;y)=(2;-1)\).
b) Multiplier la seconde équation par \(-2\) : \(-2a+4b=-4\). En ajoutant, \(7b=2\), donc \(b=\dfrac27\). Puis \(a-\dfrac47=2\), donc \(a=\dfrac{18}{7}\). \((a;b)=\left(\dfrac{18}{7};\dfrac27\right)\).
Un capteur de niveau suit \(U=aL+b\). On mesure \(U=1\,V\) pour \(L=0,2\,m\), puis \(U=4\,V\) pour \(L=1,4\,m\). Déterminer \(a\) et \(b\), avec leurs unités.
Le système est \(0,2a+b=1\) et \(1,4a+b=4\). En soustrayant : \(1,2a=3\), donc \(a=2,5\,V\,m^{-1}\).
Puis \(0,2\times2,5+b=1\), donc \(b=0,5\,V\).
Contrôle technicien : pour \(L=1,4\,m\), \(2,5\times1,4+0,5=4,0\,V\).
Du discriminant au comportement d’un système
\(\Delta=b^2-4ac\). Si \(\Delta>0\), deux solutions ; si \(\Delta=0\), une solution double \(-\dfrac{b}{2a}\) ; si \(\Delta<0\), aucune solution réelle.
Pour le signe : quand \(\Delta>0\), le trinôme est du signe de \(a\) à l’extérieur des racines et du signe opposé entre elles.
Pour \(2x^2-5x-3=0\) : identifier \(a,b,c\), calculer \(\Delta\), prévoir le nombre de solutions, puis résoudre.
\(a=2\), \(b=-5\), \(c=-3\). \(\Delta=(-5)^2-4\times2\times(-3)=25+24=49>0\).
Il y a deux solutions : \(x=\dfrac{5\pm7}{4}\). Ainsi \(x_1=-\dfrac12\) et \(x_2=3\).
a) \(3x^2-2x+1=0\). b) \(x^2+3,2x+2,56=0\).
a) \(\Delta=(-2)^2-4\times3\times1=-8<0\) : aucune solution réelle.
b) \(\Delta=3,2^2-4\times2,56=10,24-10,24=0\). Solution double : \(x=-\dfrac{3,2}{2}=-1,6\).
Contrôle : \((-1,6)^2+3,2(-1,6)+2,56=0\).
L’équation caractéristique est \(r^2+6r+c=0\). Déterminer selon \(c\) si le régime est apériodique (\(\Delta>0\)), critique (\(\Delta=0\)) ou oscillant (\(\Delta<0\)).
\(\Delta=6^2-4c=36-4c=4(9-c)\).
Si \(c<9\), \(\Delta>0\) : régime apériodique.
Si \(c=9\), \(\Delta=0\) : régime critique.
Si \(c>9\), \(\Delta<0\) : régime oscillant.
Comparer les coefficients d’expressions égales
Un polynôme s’écrit \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\). Deux polynômes sont égaux si et seulement si les coefficients de chaque puissance sont égaux, en complétant au besoin par des coefficients nuls.
Pour identifier des fractions rationnelles, on commence par préciser le domaine, puis on multiplie par un dénominateur commun non nul sur ce domaine avant de comparer les coefficients.
Compléter : \(3x^2-5=(a)x^2+(b)x+c\). Puis déterminer \(a,b,c\).
On écrit \(3x^2+0x-5\). Ainsi \(a=3\), \(b=0\), \(c=-5\).
a) Déterminer \(a,b,c\) tels que \(2x^3-x^2-7x+2=(x-2)(ax^2+bx+c)\).
b) Déterminer \(a,b,c\) tels que \(x^3-2x^2-5x+6=(x-3)(ax^2+bx+c)\).
Développer le membre de droite, ranger par puissances décroissantes, puis identifier.
a) Le membre droit vaut \(ax^3+(b-2a)x^2+(c-2b)x-2c\). Donc \(a=2\), \(b-4=-1\), \(c-2b=-7\), \(-2c=2\). On obtient \(a=2,b=3,c=-1\).
b) De même : \(a=1\), \(b-3a=-2\), \(c-3b=-5\), \(-3c=6\). Donc \(a=1,b=1,c=-2\).
a) Déterminer \(a,b\) tels que \(\dfrac{7-p}{p^2+p-2}=\dfrac a{p+2}+\dfrac b{p-1}\).
b) Déterminer \(a,b\) tels que \(\dfrac8{p^2(p^2+4)}=\dfrac a{p^2}+\dfrac b{p^2+4}\).
a) Factoriser \(p^2+p-2=(p+2)(p-1)\). b) Multiplier par \(p^2(p^2+4)\).
a) Domaine : \(p\ne-2,1\). Après multiplication : \(7-p=a(p-1)+b(p+2)=(a+b)p+(-a+2b)\). Donc \(a+b=-1\) et \(-a+2b=7\). Ainsi \(a=-3,b=2\).
b) Domaine : \(p\ne0\) dans les réels. On obtient \(8=a(p^2+4)+bp^2=(a+b)p^2+4a\). Donc \(a+b=0\) et \(4a=8\). Ainsi \(a=2,b=-2\).
Étalonner, convertir, résoudre et contrôler une chaîne de mesure
Les points sont \((0;4)\) et \((150;20)\), dans le repère \((T;I)\).
Pour l’alarme, remplacer \(U\) par \(250I\), avec \(I\) exprimé en ampères.
Une tension de 4,2 V correspond à \(I=\dfrac{4,2}{250}=0,0168\,A=16,8\,mA\).
1. À \(T=0\), \(b=4\,mA\). Puis \(20=150a+4\), donc \(a=\dfrac{16}{150}\approx0,1067\,mA\,^\circ C^{-1}\).
2. \(I=\dfrac{16}{150}T+4\), avec \(I\) en mA.
3. Pour \(T=96\) : \(I=\left(\dfrac{16}{150}\right)\times96+4=14,24\,mA=\)\(0,01424\,A\).
4. \(U=250\times0,01424=\)\(3,56\,V\).
5. \(U>4,2\) équivaut à \(I>16,8\,mA\). Donc \(\dfrac{16}{150}T+4>16,8\), soit \(\dfrac{16}{150}T>12,8\), puis \(T>120\,^\circ C\). À exactement 120 °C, \(U=4,2\,V\) : l’alarme définie par une inégalité stricte ne se déclenche pas encore.
Contrôle technicien : \(14,24\,mA\) appartient à la plage 4–20 mA ; \(3,56\,V\) appartient à la plage obtenue avec \(250\,\Omega\), soit 1–5 V ; 96 °C est inférieur au seuil de 120 °C, donc l’absence d’alarme est cohérente.