Lire, calculer et interpréter les modèles rencontrés en instrumentation, régulation et traitement du signal.
Commence chaque bloc par le mini-positionnement. Cherche sans aide, ouvre un indice en cas de blocage, puis utilise le corrigé pour contrôler méthode, unités et vraisemblance.
Un document commun, des points d’entrée différents
Ces balises indiquent le rôle de l’activité, pas la valeur de l’étudiant.
Après un calcul, vérifier autant que possible : domaine, signe, unité, ordre de grandeur, sens de variation, valeur initiale, valeur finale et cohérence physique.
Avant de calculer, comprendre ce que relie le modèle
Une fonction associe à chaque valeur admissible \(x\) une unique valeur \(f(x)\). \(f(2)\) est l’image de 2. Résoudre \(f(x)=5\), c’est chercher les antécédents de 5.
Exemple : \(1/f\) existe mathématiquement pour \(f\ne0\), mais une fréquence physique vérifie généralement \(f>0\).
Pour \(g(x)=2x+1\), calculer \(g(3)\), puis résoudre \(g(x)=9\). Deux réponses justes : passer à 1.2.
On considère \(f(x)=\sqrt{x-1}\).
Il faut \(x-1\ge0\). Pour l’antécédent de 3, élever les deux membres au carré.
\(f(1)=0\), \(f(5)=2\), \(f(10)=3\). Ainsi l’antécédent de 3 est 10.
La racine existe pour \(x-1\ge0\), donc \(D_f=[1; +\infty[\).
| Pression \(p\) (bar) | 0 | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Tension \(U(p)\) (V) | 0,5 | 1,5 | 3,0 | 4,5 |
Lire \(U(5)\), donner un antécédent de 1,5 V, puis décrire l’évolution de la tension.
\(U(5)=3,0\,\mathrm{V}\). Un antécédent de 1,5 V est 2 bar. La tension croît lorsque la pression augmente.
Contrôle technicien : ne pas écrire « \(U=5\) » : 5 est ici une pression, pas une tension.
Décrire des états, des commutations et des consignes
Une fonction en escalier prend une valeur constante sur chaque intervalle. Aux frontières, les crochets ou les points ouverts et fermés indiquent la valeur retenue.
| Intervalle | \(-7\le x\le-4\) | \(-4<x\le0\) | \(0<x<2\) | \(x\ge2\) |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | 2 | −3 | 4 | −1 |
On utilise ici \(H\) pour éviter de confondre l’échelon avec la tension électrique \(U\). Le signe « \(t-\tau\) » correspond à un retard de \(\tau\).
Commande marche/arrêt, changement de consigne, chronogramme logique et modélisation de l’entrée d’un système dynamique.
Donner \(H(-2)\), \(H(0)\) et \(H(3-2)\). Tout juste : commencer à 2.2.
Tracer la fonction donnée par le tableau précédent. Préciser \(f(-4)\), \(f(0)\) et \(f(2)\).
Chaque frontière appartient à un seul intervalle. Utiliser un point plein si elle est incluse, un point vide sinon.
\(f(-4)=2\), \(f(0)=-3\), \(f(2)=-1\). La troisième marche n’atteint donc ni 0 ni 2.
Étudier puis tracer \(f(t)=2H(t)-3H(t-1)\). Compléter d’abord les valeurs sur \(t<0\), \(0\le t<1\) et \(t\ge1\).
Évaluer séparément \(H(t)\) et \(H(t-1)\) sur chacun des trois intervalles.
| Intervalle | \(t<0\) | \(0\le t<1\) | \(t\ge1\) |
|---|---|---|---|
| \(H(t)\) | 0 | 1 | 1 |
| \(H(t-1)\) | 0 | 0 | 1 |
| \(f(t)\) | 0 | 2 | −1 |
Un chauffage reçoit 10 V de \(0\le t<3\) min, 0 V de \(3\le t<8\) min, puis 10 V de \(8\le t\le12\) min.
La première impulsion vaut \(10[H(t)-H(t-3)]\).
Sur la durée étudiée, \(s(t)=10[H(t)-H(t-3)]+10H(t-8)\).
Sans hystérésis, le bruit de mesure peut provoquer des commutations très rapides autour de la consigne. Deux seuils distincts stabilisent la commande.
Contrôle technicien : tester la formule avec un temps dans chaque intervalle.
Sensibilité, décalage et droite passant par deux points
\(a\) est le coefficient directeur : \(a=\Delta y/\Delta x\). Il représente souvent une sensibilité ou un gain et possède alors une unité. \(b=f(0)\) est l’ordonnée à l’origine, souvent appelée offset.
Si \(a>0\), la fonction est croissante ; si \(a<0\), elle est décroissante ; si \(a=0\), elle est constante.
Pour \(f(x)=-2x+3\), donner \(f(0)\), le sens de variation et l’unité de \(a\) si \(x\) est en bar et \(f(x)\) en volts.
Tracer \(y=-x-1\) et \(y=0,5x+2\) en utilisant deux points par droite. Indiquer le sens de variation.
Pour \(y=-x-1\) : points \((0;-1)\) et \((1;-2)\), droite décroissante.
Pour \(y=0,5x+2\) : points \((0;2)\) et \((2;3)\), droite croissante.
Un capteur suit \(U=ap+b\), avec \(U\) en volts et \(p\) en bar. On mesure 0,5 V à 0 bar et 4,5 V à 8 bar. Déterminer \(a\), \(b\), puis \(U\) à 5 bar.
La pente est la variation de tension divisée par la variation de pression.
\(a=(4,5-0,5)/(8-0)=\)\(0,5\,\mathrm{V}/bar\). À \(p=0\), \(b=0,5\,\mathrm{V}\).
Donc \(U=0,5p+0,5\), puis \(U(5)=3,0\,\mathrm{V}\).
Contrôle technicien : 5 bar est entre 0 et 8 bar ; 3 V est bien entre 0,5 et 4,5 V. La substitution des deux points retrouve les mesures.
Avec le capteur précédent, on mesure \(U=3,8\,\mathrm{V}\). Déterminer la pression et vérifier la plage de mesure.
\(3,8=0,5p+0,5\), donc \(p=(3,8-0,5)/0,5=\)(6,6,bar). La valeur appartient à la plage 0–8 bar.
Relier l’expression du trinôme à sa parabole
La courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha;\beta)\) et d’axe \(x=\alpha\). Elle est tournée vers le haut si \(a>0\), vers le bas si \(a<0\).
Cette lecture complète la résolution et l’étude du signe vues au chapitre 1.
Étudier \(f(x)=(x-2)^2-4\) : sommet, axe, sens de variation et solutions de \(f(x)=0\).
Le carré est minimal lorsqu’il vaut zéro.
Sommet \(S(2;-4)\), axe \(x=2\), parabole tournée vers le haut. Elle décroît jusqu’à 2 puis croît.
\((x-2)^2=4\), donc \(x-2=\pm2\) : \(x=0\) ou \(x=4\).
Sans développer, comparer les courbes de \(f(x)=2(x+1)^2-3\) et \(g(x)=-0,5(x+1)^2-3\).
Elles ont le même sommet \((-1;-3)\) et le même axe \(x=-1\). \(f\) est tournée vers le haut et plus resserrée ; \(g\) est tournée vers le bas et plus aplatie.
Un modèle croissant défini seulement pour une entrée non négative
\(f(x)=\sqrt{x}\) est définie sur \([0;+\infty[\), croissante, et tend vers \(+\infty\). C’est la fonction inverse de \(x\mapsto x^2\) lorsque cette dernière est restreinte à \([0;+\infty[\).
La formule de la dérivée n’est pas définie en zéro : la fonction racine carrée n’y est pas dérivable.
\(\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b\) pour \(a,b\ge0\), mais en général \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\).
À ouverture et fluide fixés, certains organes déprimogènes suivent le modèle simplifié \(Q=k\sqrt{\Delta p}\), avec \(\Delta p\ge0\). On retrouve aussi la racine carrée dans la loi de Torricelli.
Calculer \(\sqrt{49}\), simplifier \(\sqrt{50}\), puis résoudre \(\sqrt{x}=4\). Tout juste : passer à 5.2.
a) Simplifier exactement \(\sqrt{50}\). b) Calculer \(\sqrt{4\times9}\). c) Résoudre \(\sqrt{x}=3\). d) Montrer avec \(a=9\), \(b=16\) que \(\sqrt{a+b}\ne\sqrt a+\sqrt b\).
a) \(\sqrt{25\times2}=\)\(5\sqrt2\approx7,07\). b) 6. c) \(x=9\).
d) \(\sqrt{25}=5\), tandis que \(\sqrt9+\sqrt{16}=3+4=7\).
Dans des conditions fixées, \(Q=12\sqrt{\Delta p}\), avec \(Q\) en m³/h et \(\Delta p\) en bar.
Pour la question 2, isoler la racine puis élever au carré.
1. \(Q=12\sqrt4=\)\(24\,\mathrm{m^3/h}\).
2. \(36=12\sqrt{\Delta p}\), donc \(\sqrt{\Delta p}=3\), puis \(\Delta p=9\,\mathrm{bar}\).
3. La constante s’exprime en \((m^3/h)/\sqrt{\mathrm{bar}}\).
Contrôle technicien : multiplier la perte de charge par 4 ne multiplie le débit que par 2.
Quand l’augmentation d’une grandeur provoque la diminution d’une autre
Si \(a\ne0\), le domaine est \(\mathbb R^*=\mathbb R\setminus\{0\}\), avec asymptotes \(x=0\) et \(y=0\).
Si \(a>0\), \(f\) décroît sur chacun des intervalles \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\). Si \(a<0\), elle croît sur chacun de ces intervalles.
Au voisinage de zéro, il faut distinguer la gauche et la droite.
Réactance capacitive \(X_C=1/(2\pi fC)\), débit et temps de remplissage à volume constant, ou grandeurs inversement proportionnelles.
Déterminer \(\lim_{x\to0^-}1/x\), \(\lim_{x\to0^+}1/x\) et \(\lim_{x\to+\infty}3/x\). La limite bilatérale en zéro existe-t-elle ?
\(\lim_{x\to0^-}1/x=-\infty\), \(\lim_{x\to0^+}1/x=+\infty\) et \(\lim_{x\to+\infty}3/x=0\).
Les deux limites latérales étant différentes, \(\lim_{x\to0}1/x\) n’existe pas.
Pour \(C=100\,\mathrm{nF}\), calculer \(X_C=1/(2\pi fC)\) à \(f=1\,\mathrm{kHz}\), puis à \(10\,\mathrm{kHz}\). Arrondir à trois chiffres significatifs et commenter.
Convertir \(100\,\mathrm{nF}=100\times10^{-9}\,\mathrm{F}\) et \(1\,\mathrm{kHz}=10^3\,\mathrm{Hz}\).
À 1 kHz : \(X_C\approx1,59\,\mathrm{k\Omega}\). À 10 kHz : \(X_C\approx159\,\mathrm{\Omega}\).
Contrôle technicien : la fréquence est multipliée par 10, donc la réactance doit être divisée par 10.
Transformer des produits en sommes et mesurer des rapports
\(\ln(x)\) est défini uniquement pour \(x>0\), croît sur \(]0;+\infty[\), et \(\ln'(x)=1/x\).
\(\ln(1)=0\), \(\ln(e)=1\). Le logarithme décimal est \(\log(x)=\ln(x)/\ln(10)\). Sur la calculatrice, les touches ln et log ne sont pas interchangeables.
Pour des rapports positifs et sans unité :
Calculer \(\ln(e^3)\), \(\log(1000)\) et \(\ln(6)-\ln(2)\). Tout juste : commencer à 7.2.
a) \(\ln6-\ln2\) ; b) \(\ln\sqrt e\) ; c) \(\ln(1/2)\) ; d) \(\ln8\) ; e) \(\ln(64e)\).
a) \(\ln3\). b) \(\ln(e^{1/2})=\)\(1/2\).
c) \(-\ln2\). d) \(\ln(2^3)=\)\(3\ln2\). e) \(\ln(2^6e)=\)\(6\ln2+1\).
Un amplificateur reçoit \(V_e=20\,\mathrm{mV}\) et délivre \(V_s=2\,\mathrm{V}\). Calculer le gain en tension \(G=V_s/V_e\), puis \(G_{dB}=20\log(G)\).
Convertir les deux tensions dans la même unité avant de former le rapport.
\(20\,\mathrm{mV}=0,020\,\mathrm{V}\), donc \(G=2/0,020=\)100. Le rapport n’a pas d’unité.
\(G_{dB}=20\log(100)=20\times2=\)\(40\,\mathrm{dB}\).
Un étage apporte un gain de 20 dB en tension. Calculer \(V_s/V_e\). Même question pour −6 dB, au centième.
\(20\log G=G_{dB}\), donc \(G=10^{G_{dB}/20}\).
Pour 20 dB : \(G=10\). Pour −6 dB : \(G\approx0,50\).
Décrire une évolution vers une valeur finale
\(e^x\) est définie et strictement positive sur \(\mathbb R\), croissante, avec \((e^x)'=e^x\). Les fonctions \(\ln\) et exponentielle sont inverses :
\(e^{a+b}=e^ae^b\), \(e^{a-b}=e^a/e^b\), \(e^{-a}=1/e^a\).
\(E\) est la valeur finale et \(\tau\), exprimée dans la même unité que \(t\), est la constante de temps.
a) \(\ln(e^{-2})\) ; b) \(\ln(\sqrt e)\) ; c) \(e^{2\ln5}\) ; d) \(e^{\ln4+2\ln3}\).
a) −2. b) \(1/2\). c) \(e^{\ln(5^2)}=\)25. d) \(e^{\ln4+\ln9}=e^{\ln36}=\)36.
Un système a \(\tau=2\,\mathrm{s}\), \(E=10\), et \(s(t)=10(1-e^{-t/2})\). Calculer \(s(0)\), \(s(2)\), \(s(6)\), puis la valeur finale.
Saisir \(10\times(1-\exp(-2/2))\), en conservant les parenthèses.
\(s(0)=0\), \(s(2)=10(1-e^{-1})\approx\)6,32, \(s(6)=10(1-e^{-3})\approx\)9,50.
Quand \(t\to+\infty\), \(e^{-t/2}\to0\), donc \(s(t)\to10\).
Contrôle technicien : les valeurs augmentent, restent inférieures à 10 et atteignent environ 63 % à \(t=\tau\), 95 % à \(t=3\tau\).
Passer au logarithme et interpréter le temps obtenu
Pour \(a>0\), \(a\ne1\) et \(b>0\), prendre le logarithme des deux membres donne :
Si \(b\le0\), l’équation n’a pas de solution réelle. Si \(a=1\), il faut traiter séparément \(1^x=b\).
Pour le système précédent, résoudre \(e^{-t/2}=0,05\). Arrondir au dixième de seconde.
\(-t/2=\ln(0,05)\), donc \(t=-2\ln(0,05)\approx5,991\).
\(t_{95}\approx6,0\,\mathrm{s}\), soit environ \(3\tau\).
Lors d’un essai indiciel, la sortie atteint 63 % de sa valeur finale après 4 s. Déduire \(\tau\), puis estimer \(t_{95}\).
Pour un premier ordre, le niveau de 63 % est atteint à \(t=\tau\). Donc \(\tau\approx4\,\mathrm{s}\).
\(t_{95}\approx3\tau\), donc \(t_{95}\approx12\,\mathrm{s}\).
Une température suit \(T(t)=80-60e^{-t/5}\), en °C. Déterminer quand elle atteint 68 °C.
Isoler d’abord l’exponentielle : \(60e^{-t/5}=12\).
\(e^{-t/5}=0,2\), donc \(-t/5=\ln(0,2)\), puis \(t=-5\ln(0,2)\approx8,05\,\mathrm{s}\).
Contrôle technicien : la température initiale vaut 20 °C, la valeur finale 80 °C ; 68 °C doit donc être atteinte à un temps positif.
Relier cercle, radians, période et pulsation
Sur le cercle trigonométrique, \(\cos x\) est l’abscisse et \(\sin x\) l’ordonnée. Les deux fonctions sont définies sur \(\mathbb R\), à valeurs dans \([-1;1]\), et de période \(2\pi\).
Elles n’ont pas de limite en \(+\infty\) ou en \(-\infty\), car elles oscillent.
| Degrés | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Radians | 0 | \(\pi/6\) | \(\pi/4\) | \(\pi/3\) | \(\pi/2\) | \(2\pi/3\) | \(3\pi/4\) | \(5\pi/6\) | \(\pi\) |
| \(\sin x\) | 0 | \(1/2\) | \(\sqrt2/2\) | \(\sqrt3/2\) | 1 | \(\sqrt3/2\) | \(\sqrt2/2\) | \(1/2\) | 0 |
| \(\cos x\) | 1 | \(\sqrt3/2\) | \(\sqrt2/2\) | \(1/2\) | 0 | −\(1/2\) | −\(\sqrt2/2\) | −\(\sqrt3/2\) | −1 |
\(f\) s’exprime en hertz, \(T\) en secondes, \(\omega\) en radians par seconde et \(\varphi\) en radians.
Convertir 90° en radians, donner \(\sin(\pi/2)\), puis calculer la période d’un signal à 50 Hz.
Sans calculatrice, restituer les lignes sinus et cosinus du tableau. Vérifier ensuite la cohérence des signes sur le cercle.
Dans le deuxième quadrant, le sinus est positif et le cosinus négatif.
Les valeurs figurent dans le tableau de cours. Les colonnes de 120°, 135° et 150° ont les mêmes valeurs absolues que 60°, 45° et 30°, mais leur cosinus est négatif.
Une tension s’écrit \(u(t)=230\sqrt2\cos(\omega t)\), avec \(f=50\,\mathrm{Hz}\) et \(\omega=2\pi f\).
Utiliser le mode radians. Convertir \(5\,\mathrm{ms}=0,005\,\mathrm{s}\).
\(\omega=2\pi\times50=\)\(100\pi\approx314\,\mathrm{rad/s}\). \(T=1/50=\)\(0,020\,\mathrm{s}=20\,\mathrm{ms}\).
À 5 ms, \(\omega t=100\pi\times0,005=\pi/2\), donc \(u(5\,\mathrm{ms})=0\,\mathrm{V}\).
La valeur maximale est \(230\sqrt2\approx325\,\mathrm{V}\) et la valeur efficace est 230 V.
Contrôle technicien : 5 ms est le quart de la période ; un cosinus parti de son maximum passe alors par zéro.
Pour \(s(t)=4\cos(200\pi t+\pi/3)\), déterminer amplitude, pulsation, fréquence, période et phase initiale.
\(A=4\), \(\omega=200\pi\,\mathrm{rad/s}\), \(f=\omega/(2\pi)=\)100 Hz, \(T=1/f=\)10 ms, \(\varphi=\pi/3=60°\).
De la température au signal de commande
Pour la valeur finale, faire tendre \(e^{-t/5}\) vers zéro.
Résoudre \(80-60e^{-t/5}=68\), soit \(e^{-t/5}=0,2\).
Si \(t_s\) est l’instant de déclenchement, l’alarme vaut \(10H(t-t_s)\).
1. \(T(0)=80-60=20\,^\circ\mathrm C\). Quand \(t\to+\infty\), \(T(t)\to80\,^\circ\mathrm C\).
2. \(T(5)=80-60e^{-1}\approx\)\(57,9\,^\circ\mathrm C\). Après une constante de temps, 63,2 % de l’écart initial à la valeur finale ont été parcourus.
3. \(e^{-t/5}=0,2\), donc \(t_s=-5\ln(0,2)\approx8,05\,\mathrm{s}\).
4. La tension d’alarme est \(u_A(t)=10H(t-t_s)\), soit environ \(10H(t-8,05)\).
5. À 68 °C, \(I=0,16\times68+4=\)\(14,88\,\mathrm{mA}\).
6. Contrôle technicien : le temps est positif ; la température croît de 20 à 80 °C ; 68 °C est donc franchissable ; 14,88 mA appartient à la plage 4–20 mA ; les unités de temps dans l’exponentielle sont compatibles.