Relier un rapport à un angle pour étudier une pente, un déphasage et bientôt l’argument d’un nombre complexe.
Commence chaque partie par le mini-positionnement. Cherche sans aide, puis ouvre un indice ou le corrigé pour vérifier la méthode, le mode angulaire, les unités et la cohérence.
Un document commun, plusieurs points d’entrée
Pour chaque résultat angulaire, vérifier le mode de la calculatrice, l’unité, le quadrant, l’intervalle demandé et la cohérence avec les valeurs limites.
Préparer les automatismes indispensables
| Degrés | \(0^\circ\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Radians | \(0\) | \(\pi/6\) | \(\pi/4\) | \(\pi/3\) | \(\pi/2\) |
Convertir \(45^\circ\) et \(120^\circ\) en radians, puis \(\pi/6\) en degrés. Tout juste : commencer à 1.2.
Convertir : a) \(30^\circ\) ; b) \(135^\circ\) ; c) \(3\pi/4\) rad ; d) \(2,2\) rad au degré près.
Pour passer des degrés aux radians, multiplier par \(\pi/180\).
a) \(\pi/6\). b) \(3\pi/4\). c) \(135^\circ\). d) \(2,2\times180/\pi\approx\)\(126^\circ\).
Une calculatrice affiche \(\tan(45)=1\). Dans quel mode est-elle ? Que devrait-on saisir pour obtenir ce même résultat en mode radians ?
Elle est en mode degrés. En mode radians, il faut saisir \(\tan(\pi/4)=1\).
Contrôle technicien : noter explicitement « rad » ou « ° » à côté de tout angle approché.
Quotient, valeurs interdites, période et branches
Le quotient existe lorsque \(\cos(x)\ne0\). Ainsi :
| \(x\) | \(0\) | \(\pi/6\) | \(\pi/4\) | \(\pi/3\) | \(\pi/2\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\tan x\) | \(0\) | \(\sqrt3/3\) | \(1\) | \(\sqrt3\) | non définie |
Sur chaque intervalle \(]-\pi/2+k\pi\,;\,\pi/2+k\pi[\), la tangente est strictement croissante. Les droites \(x=\pi/2+k\pi\) sont des asymptotes verticales.
Sur la branche principale :
Calculer \(\tan(\pi/4)\), dire si \(\tan(\pi/2)\) existe, puis donner \(\tan(5\pi/4)\). Tout juste : commencer à 2.2.
Calculer \(\tan(\pi/4)\) et \(\tan(\pi/3)\), puis résoudre \(\tan(x)=1\) sur \(]-\pi/2;\pi/2[\).
\(\tan(\pi/4)=1\), \(\tan(\pi/3)=\sqrt3\). Sur la branche principale, \(x=\pi/4\).
Les asymptotes sont \(x=-\pi/2\) et \(x=\pi/2\). Les zéros sont \(x=k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).
Le domaine est séparé par des valeurs interdites : on ne peut pas comparer les branches comme un intervalle unique.
Sur \(]-\pi/2;\pi/2[\) :
\(\tan'(x)=1+\tan^2x\). Une dérivée nulle en un point isolé n’empêche pas une stricte croissance.
\(g'(x)=1+\tan^2x-1=\tan^2x\ge0\). La fonction est strictement croissante sur la branche principale.
Comme \(g(0)=0\), pour \(0<x<\pi/2\), \(g(x)>0\), donc \(\tan x>x\).
Près de zéro, \(\tan x\approx x\) : c’est l’approximation des petits angles, avec \(x\) en radians.
Retrouver l’angle principal associé à un rapport
La tangente complète est périodique : un même nombre possède une infinité d’antécédents. Sur \(]-\pi/2;\pi/2[\), elle est strictement croissante et prend toutes les valeurs réelles. Sa fonction réciproque est \(\arctan\).
Les courbes de la tangente restreinte et de l’arctangente sont symétriques par rapport à la droite \(y=x\).
L’arctangente est définie et strictement croissante sur \(\mathbb R\), à valeurs dans \(]-\pi/2;\pi/2[\).
\(\arctan(x)\ne1/\tan(x)\). Sur une calculatrice, la fonction peut être notée tan⁻¹. Par ailleurs, \(\arctan(y/x)\) ne détermine pas toujours le bon quadrant d’un argument complexe ; il faut tenir compte des signes ou employer atan2(y,x).
Donner \(\arctan(0)\), \(\arctan(1)\) et le signe de \(\arctan(-3)\). Tout juste : commencer à 3.2.
Calculer exactement : a) \(\arctan(0)\) ; b) \(\arctan(1)\) ; c) \(\arctan(\sqrt3)\) ; d) \(\arctan(-1)\). Donner aussi les valeurs en degrés.
a) \(0\). b) \(\pi/4=45^\circ\). c) \(\pi/3=60^\circ\). d) \(-\pi/4=-45^\circ\).
Sans calculatrice, encadrer \(\arctan(0,5)\) entre deux angles remarquables. Vérifier ensuite au centième de radian et au degré près.
Comparer \(0,5\) à \(\tan(0)=0\) et \(\tan(\pi/4)=1\).
\(0<\arctan(0,5)<\pi/4\). La calculatrice donne \(0,46\ \mathrm{rad}\approx27^\circ\).
Les nombres complexes \(z_1=1+j\) et \(z_2=-1-j\) donnent tous deux \(y/x=1\). Montrer que \(\arctan(y/x)\) ne suffit pas à distinguer leurs arguments.
Dans les deux cas, \(\arctan(y/x)=\arctan(1)=\pi/4\). Pourtant \(z_1\) est dans le premier quadrant, d’argument \(\pi/4\), tandis que \(z_2\) est dans le troisième, d’argument \(-3\pi/4\) ou \(5\pi/4\).
Contrôle technicien : toujours examiner les signes des parties réelle et imaginaire, ou utiliser atan2.
Appliquer la chaîne sans perdre le domaine initial
Si \(u\) est dérivable sur son domaine :
Le dénominateur \(1+u(x)^2\) est strictement positif. Le signe de la dérivée est donc celui de \(u'(x)\), mais le domaine reste celui de la fonction initiale.
Préciser le domaine, identifier \(u(x)\), puis calculer \(f'(x)\).
\(D_f=\mathbb R\), \(u(x)=2x\), \(u'(x)=2\). Donc \(f'(x)=2/(1+4x^2)\).
Calculer \(g'(x)\), puis déterminer les variations de \(g\).
\(g'(x)=2x/(1+x^4)\). Le dénominateur est positif : \(g\) décroît sur \(]-\infty;0]\), puis croît sur \([0;+\infty[\).
Préciser le domaine, calculer la dérivée et expliquer pourquoi la valeur \(x=0\) reste interdite après simplification.
Avec \(u(x)=1/x\), on a \(u'(x)=-1/x^2\).
\(D_h=\mathbb R^*\). Pour \(x\ne0\),
\[h'(x)=\frac{-1/x^2}{1+1/x^2}=-\frac1{x^2+1}.\]
La formule simplifiée paraît définie en zéro, mais la fonction initiale ne l’est pas. Elle est décroissante séparément sur \(]-\infty;0[\) et \(]0;+\infty[\).
Trouver la solution principale, puis utiliser la période
Pour tout réel \(a\), l’équation \(\tan(x)=a\) possède une unique solution sur \(]-\pi/2;\pi/2[\) :
Sur \(\mathbb R\), la période \(\pi\) donne toutes les solutions :
Résoudre \(\tan x=1\) sur la branche principale, puis sur \(\mathbb R\).
Résoudre sur \(]-\pi/2;\pi/2[\), puis sur \(\mathbb R\) :
a) \(\tan x=1\) ; b) \(\tan x=\sqrt3\).
a) Branche principale : \(x=\pi/4\). Sur \(\mathbb R\) : \(x=\pi/4+k\pi\).
b) Branche principale : \(x=\pi/3\). Sur \(\mathbb R\) : \(x=\pi/3+k\pi\).
Résoudre sur \(]-\pi/2;\pi/2[\) : \(2\tan x-1=0\). Donner la valeur exacte puis une valeur approchée à \(0,01\) rad près.
\(\tan x=1/2\), donc \(x=\arctan(1/2)\approx0,46\ \mathrm{rad}\).
Résoudre \(\tan x=-1\) sur \(]-\pi/2;\pi/2[\), puis sur \(\mathbb R\).
Branche principale : \(x=-\pi/4\). Sur \(\mathbb R\) : \(x=-\pi/4+k\pi\), \(k\in\mathbb Z\).
Résoudre \(\tan x=1\) sur \([0;2\pi]\).
Partir de \(x=\pi/4+k\pi\) puis chercher les entiers \(k\) admissibles.
Pour \(k=0\), \(x=\pi/4\). Pour \(k=1\), \(x=5\pi/4\). Les autres valeurs sortent de l’intervalle.
Solutions : \(\{\pi/4\,;\,5\pi/4\}\).
Une application centrale de l’arctangente en CIRA
La sortie est prise aux bornes de la résistance \(R>0\). Avec \(L>0\) et \(\omega\ge0\) :
Dans ce cas, le quadrant est connu et la phase appartient à \(]-\pi/2;0]\).
Appliquer la dérivée composée à \(u(\omega)=\omega/\omega_0\).
\[\varphi'(\omega)=-\frac{1/\omega_0}{1+(\omega/\omega_0)^2}<0.\]
Donc \(\varphi\) décroît. De plus, \(\varphi(0)=0\), \(\varphi(\omega_0)=-\pi/4=-45^\circ\) et \(\varphi(\omega)\to-\pi/2=-90^\circ\).
On prend \(R=1,0\ \mathrm{k\Omega}\) et \(L=100\ \mathrm{mH}\).
Convertir \(R=1000\ \Omega\) et \(L=0,100\ \mathrm H\).
\(\omega_0=1000/0,100=\)\(10\,000\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\), puis \(f_0=10\,000/(2\pi)\approx\)\(1,59\ \mathrm{kHz}\).
\(\varphi(0,1\omega_0)=-\arctan(0,1)\approx-5,7^\circ\).
\(\varphi(\omega_0)=-45^\circ\).
\(\varphi(10\omega_0)=-\arctan(10)\approx-84,3^\circ\).
Contrôle technicien : la phase décroît de \(0^\circ\) vers \(-90^\circ\) et vaut \(-45^\circ\) à la pulsation caractéristique.
Identifier une fréquence à partir d’un déphasage
À partir de \(-\arctan(\omega/\omega_0)=\varphi\), écrire \(\omega/\omega_0=\tan(-\varphi)\).
\(\tan(30^\circ)=1/\sqrt3\) et \(\tan(60^\circ)=\sqrt3\).
1. \(\omega_0=10\,000\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\) et \(f_0\approx1,59\ \mathrm{kHz}\).
2. \(-30^\circ=-\pi/6\). On obtient \(\omega=\omega_0\tan(\pi/6)=\omega_0/\sqrt3\approx5774\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\), donc \(f\approx919\ \mathrm{Hz}\).
3. \(-60^\circ=-\pi/3\). Ainsi \(\omega=\sqrt3\,\omega_0\approx17\,321\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\), donc \(f\approx2,76\ \mathrm{kHz}\).
4. \(-30^\circ\) est obtenu sous \(f_0\), \(-45^\circ\) à \(f_0\), puis \(-60^\circ\) au-dessus : l’ordre est cohérent.
5. La phase du modèle appartient à \(]-90^\circ;0^\circ]\). Elle ne peut donc pas atteindre \(-100^\circ\).
6. Contrôle technicien : les fréquences et pulsations sont positives ; la calculatrice peut utiliser les degrés pour l’évaluation numérique, mais les formules analytiques restent exprimées en radians.