Modélisation du signal

Lire, décrire et transformer un signal pour relier une mesure temporelle à un modèle mathématique exploitable.

Commence chaque partie par le mini-positionnement. Cherche sans aide, puis ouvre un indice ou le corrigé. La calculatrice est autorisée : elle ne remplace pas les contrôles d’unité, de signe et d’ordre de grandeur.

SocleConsolidationApprofondissementDéfi CIRA

Fil directeur : oscilloscope → modèle sinusoïdal → dérivée → relation physique → écriture adaptée à Laplace.

0. Choisir son parcours

Un document commun, plusieurs points d’entrée

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🔎 Le contrôle technicien

Avant de valider un résultat : convertir les unités, vérifier le signe, estimer l’ordre de grandeur, comparer aux limites physiques et nommer l’unité finale.

1. Décrire un signal sinusoïdal

Passer de la courbe aux paramètres, puis aux formules

Le modèle

\[s(t)=S_0+A\cos(\omega t+\varphi)\]

Valeur moyenne
La ligne médiane est \(S_0\).

Amplitude
\(A\geqslant0\) mesure l’écart maximal à \(S_0\).

Phase initiale
\(\varphi\) indique le décalage à \(t=0\).

La pulsation, la fréquence et la période vérifient :

\[f=\frac1T,\qquad \omega=2\pi f=\frac{2\pi}{T}.\]

Unités : \(T\) en secondes, \(f\) en hertz et \(\omega\) en radians par seconde.

Préfixes indispensables

Préfixe	milli	micro	kilo
Symbole	m	µ	k
Facteur	\(10^{-3}\)	\(10^{-6}\)	\(10^3\)

\(20\ \mathrm{ms}=20\times10^{-3}\ \mathrm s=0,020\ \mathrm s\).

Mini-positionnement

Convertir \(5\ \mathrm{ms}\) en secondes, puis calculer la fréquence d’un signal de période \(5\ \mathrm{ms}\). Tout juste : commencer à 1.2.

Socle1.1

Conversions et relations fondamentales

Convertir \(20\ \mathrm{ms}\), \(250\ \mathrm{\mu s}\) et \(0,5\ \mathrm{kHz}\) dans les unités de base.
Calculer \(f\) et \(\omega\) lorsque \(T=20\ \mathrm{ms}\).

Indice

Convertir d’abord la période en secondes, puis utiliser \(f=1/T\) et \(\omega=2\pi f\).

Corrigé

\(20\ \mathrm{ms}=0,020\ \mathrm s\), \(250\ \mathrm{\mu s}=2,50\times10^{-4}\ \mathrm s\), \(0,5\ \mathrm{kHz}=500\ \mathrm{Hz}\).

Pour \(T=0,020\ \mathrm s\), \(f=50\ \mathrm{Hz}\) et \(\omega=100\pi\approx314\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\).

Contrôle : une période de quelques centièmes de seconde correspond à quelques dizaines de hertz.

Consolidation1.2

Lire les paramètres d’un modèle

On considère \(u(t)=2+3\cos(100\pi t-\pi/4)\), avec \(u\) en volts et \(t\) en secondes.

Donner la valeur moyenne, l’amplitude, la pulsation et la phase initiale.
Calculer \(f\), \(T\), \(u_{\max}\) et \(u_{\min}\).

Corrigé

\(S_0=2\ \mathrm V\), \(A=3\ \mathrm V\), \(\omega=100\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\), \(\varphi=-\pi/4\).

\(f=50\ \mathrm{Hz}\), \(T=20\ \mathrm{ms}\), \(u_{\max}=5\ \mathrm V\) et \(u_{\min}=-1\ \mathrm V\).

Approfondissement1.3

Reconstituer un modèle

Un signal sinusoïdal varie entre \(1\ \mathrm V\) et \(7\ \mathrm V\), avec une période de \(40\ \mathrm{ms}\). Il est maximal à \(t=0\). Proposer une expression sous forme d’un cosinus.

Indice

La moyenne est le milieu de l’intervalle et l’amplitude sa demi-largeur. Un cosinus sans déphasage est maximal à l’origine.

Corrigé

\(S_0=(7+1)/2=4\ \mathrm V\), \(A=(7-1)/2=3\ \mathrm V\), \(f=25\ \mathrm{Hz}\) et \(\omega=50\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\).

Une expression convient : \(s(t)=4+3\cos(50\pi t)\).

2. Périodicité et parité

Reconnaître les répétitions et les symétries utiles

Définitions

Le domaine doit être symétrique par rapport à \(0\). Une fonction est paire si \(f(-t)=f(t)\), et impaire si \(f(-t)=-f(t)\). Elle peut aussi n’être ni paire ni impaire.

Une fonction est \(T\)-périodique, avec \(T>0\), si \(f(t+T)=f(t)\). Quand elle existe, la plus petite période strictement positive est appelée période fondamentale.

Signal carré centré : sa courbe est symétrique par rapport à l’axe vertical.

Dent de scie centrée : l’amplitude est notée \(A\), sans confusion avec la période \(T\).

Où cela sert en CIRA ?

À l’oscilloscope, \(T\) se lit par « nombre de divisions × calibre temps/division ». En Fourier, un signal pair conduit à des cosinus ; un signal impair à des sinus. La symétrie permet donc d’anticiper le spectre.

Mini-positionnement

Dire sans calcul si \(t^2\) est paire et si \(t^3\) est impaire. Puis donner une période de \(\cos t\). Tout juste : commencer à 2.2.

Consolidation2.1

Étudier la parité

Déterminer, en justifiant, la parité des fonctions définies sur \(\mathbb R\) :

a) \(t^2\cos t\) ; b) \(t\sin t\) ; c) \(\cos t+t\).

Indice

Calculer chaque fois \(f(-t)\). Rappels : \(\cos(-t)=\cos t\) et \(\sin(-t)=-\sin t\).

Corrigé

a) \(f(-t)=(-t)^2\cos(-t)=t^2\cos t\) : paire.

b) \(f(-t)=(-t)\sin(-t)=t\sin t\) : paire.

c) \(f(-t)=\cos t-t\), qui n’est ni \(f(t)\) ni \(-f(t)\) : ni paire ni impaire.

Socle2.2

Lire un oscilloscope

Deux motifs identiques sont séparés de 4 divisions. Le calibre horizontal vaut \(5\ \mathrm{ms/div}\).

Calculer \(T\), \(f\) et \(\omega\).
Un élève annonce \(f=0,05\ \mathrm{Hz}\). Diagnostiquer son erreur.

Corrigé

\(T=4\times5=20\ \mathrm{ms}=0,020\ \mathrm s\), donc \(f=50\ \mathrm{Hz}\) et \(\omega=100\pi\approx314\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\).

L’élève a vraisemblablement utilisé les millisecondes sans les convertir en secondes.

Approfondissement2.3

Période et décalage

Déterminer une période de \(s(t)=4\cos(50\pi t+\pi/3)\). Le déphasage modifie-t-il cette période ?

Corrigé

\(T=2\pi/(50\pi)=0,040\ \mathrm s=40\ \mathrm{ms}\). Le déphasage translate la courbe horizontalement, mais ne modifie pas sa période.

3. Dériver un signal sinusoïdal

Suivre simultanément amplitude, pulsation et phase

Formules de dérivation

\[\bigl(\cos(\omega t+\varphi)\bigr)'=-\omega\sin(\omega t+\varphi),\qquad \bigl(\sin(\omega t+\varphi)\bigr)'=\omega\cos(\omega t+\varphi).\]

Une écriture très utile est :

\[\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left[A\cos(\omega t+\varphi)\right]=A\omega\cos\left(\omega t+\varphi+\frac\pi2\right).\]

La dérivation multiplie l’amplitude par \(\omega\) et ajoute une avance de phase de \(\pi/2\).

Exemple détaillé

\[u(t)=3\cos\left(100\pi t+\frac\pi4\right)\]

\[u'(t)=-300\pi\sin\left(100\pi t+\frac\pi4\right)=300\pi\cos\left(100\pi t+\frac{3\pi}4\right).\]

Mini-positionnement

Dériver \(2\cos(3t)\) et \(5\sin(4t)\). Tout juste : commencer à 3.2.

Socle3.1

Dériver trois signaux

Calculer la dérivée de :

a) \(3\cos(2t+\pi/4)\) ; b) \(-2\sin(100\pi t)\) ; c) \(5\cos(\omega t)\).

Corrigé

a) \(-6\sin(2t+\pi/4)\).

b) \(-200\pi\cos(100\pi t)\).

c) \(-5\omega\sin(\omega t)\).

Consolidation3.2

Deux écritures de la dérivée

Pour \(s(t)=2+4\cos(20t-\pi/6)\), déterminer \(s'(t)\) sous forme d’un sinus, puis sous forme d’un cosinus. Indiquer ce qui arrive à la valeur moyenne.

Indice

La dérivée de la constante est nulle et \(-\sin x=\cos(x+\pi/2)\).

Corrigé

\(s'(t)=-80\sin(20t-\pi/6)=80\cos(20t+\pi/3)\).

La valeur moyenne constante \(2\) disparaît à la dérivation.

Approfondissement3.3

Retrouver une primitive et contrôler

Proposer une primitive de \(v(t)=6\cos(30t+\pi/5)\), puis vérifier le résultat par dérivation.

Corrigé

Une primitive est \(V(t)=\frac15\sin(30t+\pi/5)\), car \(V'(t)=\frac15\times30\cos(30t+\pi/5)=6\cos(30t+\pi/5)\).

Toutes les primitives sont \(V(t)+K\), avec \(K\in\mathbb R\).

4. Courant dans un condensateur

Donner un sens physique à la dérivée

Relation constitutive

\[i(t)=C\,\frac{\mathrm du}{\mathrm dt}=C\,u'(t).\]

Si \(u(t)=U_{\max}\cos(\omega t)\), alors :

\[i(t)=-CU_{\max}\omega\sin(\omega t)=CU_{\max}\omega\cos\left(\omega t+\frac\pi2\right).\]

Le courant est en avance de phase de \(\pi/2\) sur la tension et son amplitude vaut \(I_{\max}=C\omega U_{\max}\).

Les deux courbes sont normalisées : leurs amplitudes physiques ne sont pas supposées égales.

Contrôle dimensionnel

\[\mathrm F\times\frac{\mathrm V}{\mathrm s}=\mathrm A.\]

Consolidation4.1

Application symbolique

Un condensateur de capacité \(C\) est soumis à \(u(t)=U_{\max}\cos(\omega t)\).

Calculer \(i(t)\).
Mettre le résultat sous forme d’un cosinus et interpréter le déphasage.

Corrigé

\(i(t)=-CU_{\max}\omega\sin(\omega t)\).

Donc \(i(t)=CU_{\max}\omega\cos(\omega t+\pi/2)\) : le courant est en avance de \(\pi/2\), soit \(90^\circ\).

Défi CIRA4.2

Calculer une amplitude réelle

On donne \(C=10\ \mathrm{\mu F}\), \(U_{\max}=5,0\ \mathrm V\) et \(f=50\ \mathrm{Hz}\).

Calculer \(\omega\).
Calculer \(I_{\max}=C\omega U_{\max}\).
Écrire \(i(t)\) si \(u(t)=5\cos(100\pi t)\).

Indice

Convertir \(10\ \mathrm{\mu F}=10^{-5}\ \mathrm F\).

Corrigé

\(\omega=2\pi f=100\pi\approx314\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\).

\(I_{\max}=10^{-5}\times100\pi\times5\approx1,57\times10^{-2}\ \mathrm A\), soit \(15,7\ \mathrm{mA}\).

\(i(t)=15,7\cos(100\pi t+\pi/2)\ \mathrm{mA}\), aux arrondis près.

Contrôle : µF, V et rad/s conduisent ici à quelques milliampères, pas à plusieurs ampères.

5. Décomposition en éléments simples

Préparer une écriture exploitable dans les tables de Laplace

Forme admise

Si \(a\ne b\) et si \(N\) est de degré strictement inférieur à 2 :

\[\frac{N(x)}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},\qquad x\ne a,\ x\ne b.\]

Les valeurs interdites \(a\) et \(b\) seront appelées pôles dans le contexte de Laplace.

Méthode et vérification

Écrire la forme attendue.
Multiplier par le dénominateur commun.
Choisir \(x=a\) pour isoler \(A\), puis \(x=b\) pour isoler \(B\).
Recomposer les fractions pour contrôler le numérateur.

Exemple :

\[\frac{5x-1}{(x-1)(x+2)}=\frac{4/3}{x-1}+\frac{11/3}{x+2}.\]

Où cela sert en CIRA ?

La transformation de Laplace inverse agit terme par terme. Une fraction compliquée devient une somme de formes simples que l’on reconnaît dans une table.

Mini-positionnement

Donner les valeurs interdites de \(1/((x+1)(x-2))\), puis remettre \(A/(x+1)+B/(x-2)\) au même dénominateur. Tout juste : commencer à 5.2.

Socle5.1

Décomposer pas à pas

Décomposer :

\[\frac{3x+5}{(x+1)(x-2)}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-2}.\]

Préciser les valeurs interdites et vérifier la réponse.

Indice

Après multiplication, \(3x+5=A(x-2)+B(x+1)\). Choisir successivement \(x=-1\) et \(x=2\).

Corrigé

Pour \(x=-1\), \(2=-3A\), donc \(A=-2/3\). Pour \(x=2\), \(11=3B\), donc \(B=11/3\).

\[\frac{3x+5}{(x+1)(x-2)}=-\frac{2}{3(x+1)}+\frac{11}{3(x-2)},\qquad x\ne-1,\ 2.\]

La recomposition donne \((-2x+4+11x+11)/3=3x+5\).

Consolidation5.2

Première application Laplace

On considère :

\[S(p)=\frac1{(p+1)(p+3)}.\]

Donner les pôles.
Décomposer sous la forme \(S(p)=A/(p+1)+B/(p+3)\).
Vérifier la décomposition.

Corrigé

Les pôles sont \(-1\) et \(-3\). On écrit \(1=A(p+3)+B(p+1)\).

Avec \(p=-1\), \(A=1/2\). Avec \(p=-3\), \(B=-1/2\).

\[\boxed{S(p)=\frac12\frac1{p+1}-\frac12\frac1{p+3}}\]

Approfondissement5.3

Repérer une erreur de signe

Un technicien propose \(1/((p+1)(p+3))=\frac12/(p+1)+\frac12/(p+3)\). Sans refaire toute la méthode, montrer que cette égalité est fausse.

Indice

Recomposer les deux fractions ou tester une valeur autorisée simple comme \(p=0\).

Corrigé

À \(p=0\), le membre de gauche vaut \(1/3\), tandis que le membre proposé vaut \(1/2+1/6=2/3\). L’égalité est fausse. Le second coefficient doit être négatif.

Contrôle technicien : une seule valeur test suffit à réfuter une identité.

Défi CIRA5.4

Reconnaître l’original

Mini-table fournie : \(\mathcal L^{-1}\{1/(p+a)\}=e^{-at}\), pour \(t\geqslant0\).

À partir de la décomposition précédente, proposer le signal temporel associé à \(S(p)\). Étudier sa valeur à \(t=0\) et sa limite lorsque \(t\to+\infty\).

Corrigé

\(s(t)=\frac12e^{-t}-\frac12e^{-3t}\), pour \(t\geqslant0\).

\(s(0)=1/2-1/2=0\), et les deux exponentielles tendent vers zéro, donc \(s(t)\to0\).

Application finale — Synthèse CIRA

Du relevé d’oscilloscope au modèle d’une chaîne de mesure

Défi CIRAS

Étude d’un capteur et de son conditionnement

Situation — La sortie d’un capteur est sinusoïdale. À l’oscilloscope, une période occupe 5 divisions avec un calibre de \(4\ \mathrm{ms/div}\). La tension varie entre \(-1\ \mathrm V\) et \(5\ \mathrm V\) et elle est maximale à \(t=0\). Cette tension est appliquée à un condensateur \(C=22\ \mathrm{\mu F}\). Une autre partie de la chaîne possède \(S(p)=1/((p+2)(p+5))\).

Déterminer \(T\), \(f\) et \(\omega\).
Déterminer la valeur moyenne et l’amplitude du signal.
Proposer une expression de \(u(t)\).
Le signal \(u\) est-il pair, impair ou ni l’un ni l’autre ? Justifier.
Calculer \(u'(t)\), puis \(i(t)=Cu'(t)\). Donner l’amplitude du courant en milliampères et son avance de phase.
Décomposer \(S(p)\) en éléments simples après avoir donné ses pôles.
Avec la mini-table de 5.4, proposer le signal temporel associé.
Effectuer les contrôles d’unités, de signe, d’ordre de grandeur et de limites.

Indice 1 — Signal

La valeur moyenne est le milieu de \([-1;5]\), l’amplitude sa demi-largeur. Le signal est maximal à l’origine : un cosinus sans phase convient.

Indice 2 — Décomposition

Écrire \(1=A(p+5)+B(p+2)\), puis choisir \(p=-2\) et \(p=-5\).

Voir le corrigé détaillé

1. \(T=5\times4=20\ \mathrm{ms}=0,020\ \mathrm s\), donc \(f=50\ \mathrm{Hz}\) et \(\omega=100\pi\ \mathrm{rad\,s^{-1}}\).

2. \(S_0=(-1+5)/2=2\ \mathrm V\) et \(A=(5-(-1))/2=3\ \mathrm V\).

3. \(u(t)=2+3\cos(100\pi t)\), en volts.

4. La constante et le cosinus sont pairs ; leur somme est donc paire.

5. \(u'(t)=-300\pi\sin(100\pi t)\). Ainsi \(i(t)=-22\times10^{-6}\times300\pi\sin(100\pi t)\).

L’amplitude est \(I_{\max}=22\times10^{-6}\times300\pi\approx0,0207\ \mathrm A=\)\(20,7\ \mathrm{mA}\). Le courant est en avance de \(\pi/2\).

6. Les pôles sont \(-2\) et \(-5\). On obtient \(A=1/3\), \(B=-1/3\), donc :

\[S(p)=\frac13\frac1{p+2}-\frac13\frac1{p+5}.\]

7. \(s(t)=\frac13e^{-2t}-\frac13e^{-5t}\), pour \(t\geqslant0\).

8. Contrôles : les millisecondes ont été converties en secondes ; \(50\ \mathrm{Hz}\) correspond bien à \(20\ \mathrm{ms}\) ; \(22\ \mathrm{\mu F}\) conduit à des milliampères ; \(s(0)=0\) et \(s(t)\to0\), conformément aux deux exponentielles décroissantes.