Chapitre 05 — Composition, dérivation et tangentes
Corrections détaillées et repliables pour chaque exercice du chapitre. Cliquer sur « Voir la correction » pour dérouler le corrigé. Les rappels de cours utiles sont regroupés dans les encadrés bleus.
1. Composition de fonctions
La composée de \(g\) suivie de \(f\), notée \(f\circ g\), est définie par \((f\circ g)(x) = f(g(x))\) : on calcule d'abord \(g(x)\), puis on applique \(f\) au résultat. En général, \(f\circ g \neq g\circ f\).
On pose \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=x+3\). Calculer \((f\circ g)(x)\) et \((g\circ f)(x)\), puis constater qu'elles sont différentes.
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Pour \((f\circ g)(x)\), on calcule d'abord \(g(x)=x+3\), puis on applique \(f\) : \(f(g(x)) = (x+3)^2\). En développant, \((f\circ g)(x) = x^2+6x+9\).
Pour \((g\circ f)(x)\), on calcule d'abord \(f(x)=x^2\), puis on applique \(g\) : \(g(f(x)) = x^2+3\). Donc \((g\circ f)(x) = x^2+3\).
Les deux expressions sont bien différentes (\(x^2+6x+9 \neq x^2+3\) dès que \(x\neq -3\)) : l'ordre de composition compte, comme annoncé dans le rappel de cours.
Composer \(f\) par une fonction affine \(g(x)=ax+b\) revient à remplacer \(x\) par \(ax+b\) dans l'expression de \(f\). C'est le cas le plus courant en pratique (translation, dilatation, changement d'unité de temps).
On considère la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^2-4x+1\).
1. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).
2. Donner l'expression de \(f(t)\) et de \(f(u)\).
3. Déterminer, en réduisant au maximum, \(f(2t)\), \(f(-t)\) et \(f(s-1)\).
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1. \(f(0) = 2\times 0^2 - 4\times 0 + 1 = 1\). Et \(f(1) = 2-4+1 = -1\). Donc \(f(0)=1\) et \(f(1)=-1\).
2. Changer le nom de la variable ne change rien à l'expression : \(f(t)=2t^2-4t+1\) et \(f(u)=2u^2-4u+1\).
3. On remplace \(x\) par chaque expression proposée, comme dans la propriété ci-dessus.
\(f(2t) = 2(2t)^2 - 4(2t) + 1 = 2\times 4t^2 - 8t + 1\), donc \(f(2t) = 8t^2-8t+1\).
\(f(-t) = 2(-t)^2 - 4(-t) + 1 = 2t^2+4t+1\), donc \(f(-t) = 2t^2+4t+1\).
\(f(s-1) = 2(s-1)^2 - 4(s-1) + 1 = 2(s^2-2s+1) - 4s+4+1 = 2s^2-4s+2-4s+5\), donc \(f(s-1) = 2s^2-8s+7\).
Attention à bien distribuer le carré \((s-1)^2\) avant de simplifier : c'est l'erreur la plus fréquente sur ce type de calcul.
Un changement de variable affine dans un signal correspond à un décalage temporel (retard ou avance) ou à un changement d'échelle de temps. C'est exactement ce mécanisme qui permet de retrouver l'expression d'un signal déphasé à partir de son expression d'origine.
On pose \(f(t)=3\cos(2t)\).
1. Calculer \(f(0)\) et \(f(\pi/3)\).
2. Donner l'expression de \(f(t-\pi/4)\).
3. En utilisant \(\cos(x-\pi/2)=\sin(x)\), montrer que \(f(t-\pi/4)=3\sin(2t)\).
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1. \(f(0) = 3\cos(0) = 3\times 1 = 3\). \(f(\pi/3) = 3\cos(2\pi/3) = 3\times(-\tfrac12) = -\tfrac32\). Donc \(f(0)=3\) et \(f(\pi/3)=-\tfrac32\).
2. On remplace \(t\) par \(t-\pi/4\) dans l'expression de \(f\) : \(f(t-\pi/4) = 3\cos\big(2(t-\pi/4)\big) = 3\cos\!\big(2t - \tfrac{\pi}{2}\big)\). Donc \(f(t-\pi/4) = 3\cos(2t-\pi/2)\).
3. En posant \(x=2t\) dans l'identité donnée, \(\cos(2t-\pi/2) = \sin(2t)\). En remplaçant dans le résultat précédent : \(f(t-\pi/4) = 3\sin(2t)\), ce qu'il fallait montrer.
Ce type de simplification est central en électronique : un signal retardé de \(\pi/4\) (soit un huitième de période ici) se réécrit avec la fonction sinus — c'est un simple déphasage.
On considère la fonction de transfert \(H(p) = \dfrac{1}{(p+2)(1+p)}\). On pose \(j\) tel que \(j^2=-1\) et \(p=j\omega\) (\(\omega\) réel).
1. Déterminer \(H(j\omega)\) en composant \(H\) par \(p \mapsto j\omega\).
2. En développant le dénominateur, montrer que \(H(j\omega) = \dfrac{1}{(2-\omega^2)+3j\omega}\).
3. En factorisant \(\omega\) dans le dénominateur, montrer que : \(H(j\omega) = \dfrac{1}{\omega}\times\dfrac{1}{(2/\omega-\omega)+3j}\).
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1. Composer \(H\) par \(p\mapsto j\omega\) revient à remplacer \(p\) par \(j\omega\) dans l'expression de \(H\) : \(H(j\omega) = \dfrac{1}{(j\omega+2)(1+j\omega)}\).
2. On développe le produit au dénominateur : \((j\omega+2)(1+j\omega) = j\omega + (j\omega)^2 + 2 + 2j\omega\). Or \((j\omega)^2 = j^2\omega^2 = -\omega^2\) (c'est ici qu'intervient \(j^2=-1\), donné dans l'énoncé). On regroupe les termes réels d'un côté et les termes en \(j\) de l'autre : \(j\omega - \omega^2 + 2 + 2j\omega = (2-\omega^2) + 3j\omega\). D'où \(H(j\omega) = \dfrac{1}{(2-\omega^2)+3j\omega}\), comme annoncé.
3. On factorise \(\omega\) dans le dénominateur : \((2-\omega^2)+3j\omega = \omega\Big(\dfrac{2}{\omega}-\omega+3j\Big)\) (on divise chaque terme par \(\omega\) puis on multiplie par \(\omega\) en facteur). En reportant dans \(H(j\omega)\) et en séparant les deux facteurs au dénominateur : \(H(j\omega) = \dfrac{1}{\omega}\times\dfrac{1}{(2/\omega-\omega)+3j}\).
Cette écriture, où \(\omega\) apparaît isolé, prépare l'étude du diagramme de Bode (2\(^\text{e}\) année) : elle fait apparaître une pulsation caractéristique du système, utile pour repérer le comportement du filtre selon la plage de fréquences.
2. Parité et périodicité — rappel
La parité et la périodicité ont été étudiées en détail au chapitre 04, appliquées aux signaux sinusoïdaux (oscilloscope, série de Fourier). On se contente ici de vérifier que ces définitions s'appliquent aussi à des fonctions purement algébriques.
Déterminer, en justifiant, la parité des fonctions suivantes définies sur \(\mathbb{R}\) : \(f(x)=x^4-3x^2+1\) \(g(x)=x^3-2x\) \(h(x)=x^2+x\).
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Le domaine \(\mathbb{R}\) étant symétrique par rapport à 0 (condition nécessaire pour parler de parité), on peut comparer \(f(-x)\) à \(f(x)\) pour chaque fonction.
\(f(-x) = (-x)^4-3(-x)^2+1 = x^4-3x^2+1 = f(x)\). Comme \(f(-x)=f(x)\) pour tout \(x\), \(f\) est paire.
\(g(-x) = (-x)^3-2(-x) = -x^3+2x = -(x^3-2x) = -g(x)\). Comme \(g(-x)=-g(x)\) pour tout \(x\), \(g\) est impaire.
\(h(-x) = (-x)^2+(-x) = x^2-x\). Or \(x^2-x \neq x^2+x\) (sauf en \(x=0\)) et \(x^2-x \neq -(x^2+x)=-x^2-x\) (sauf en \(x=0\)) : \(h\) n'est ni paire ni impaire.
Piège fréquent : il ne suffit pas de vérifier l'égalité (ou son opposé) en une seule valeur de \(x\) — un contre-exemple numérique suffit à conclure "ni paire ni impaire", mais conclure "paire" ou "impaire" exige de le montrer pour \(x\) quelconque, comme fait ici pour \(f\) et \(g\).
Soit \(f\) une fonction 4-périodique telle que \(f(t)=t^2\) pour tout \(t\) de \([0\,;4[\) (intervalle semi-ouvert à droite). Méthode : pour calculer \(f\) en un point hors de cet intervalle, on ajoute ou retranche un multiple de la période \(T=4\) jusqu'à retomber dans \([0\,;4[\). Calculer \(f(4{,}5)\), \(f(9)\) et \(f(-2)\).
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Pour \(f(4{,}5)\) : on retranche une période, \(4{,}5-4=0{,}5\), qui appartient à \([0\,;4[\). Donc \(f(4{,}5)=f(0{,}5)=0{,}5^2\), soit \(f(4{,}5)=0{,}25\).
Pour \(f(9)\) : on retranche deux périodes, \(9-4-4=1\), qui appartient à \([0\,;4[\). Donc \(f(9)=f(1)=1^2\), soit \(f(9)=1\).
Pour \(f(-2)\) : on ajoute une période, \(-2+4=2\), qui appartient à \([0\,;4[\). Donc \(f(-2)=f(2)=2^2\), soit \(f(-2)=4\).
On ne calcule jamais \((-2)^2\) directement ici : la formule \(f(t)=t^2\) n'est valable que sur \([0\,;4[\), pas partout — c'est tout l'intérêt (et le piège) de la périodicité.
3. Nombre dérivé et tangente
Le nombre dérivé de \(f\) en \(a\) est \(f'(a) = \displaystyle\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\), et c'est le coefficient directeur de la tangente à \(C_f\) au point \(A(a\,;f(a))\). La tangente a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\). Si \(f'(a)=0\), la tangente est horizontale, d'équation \(y=f(a)\).
On considère la fonction définie par \(f(x)=x^2-3x\).
1. Calculer \(f(2)\) et \(f'(x)\), puis \(f'(2)\).
2. En déduire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2.
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1. \(f(2) = 2^2-3\times 2 = 4-6=-2\). La fonction dérivée est \(f'(x)=2x-3\), donc \(f'(2)=2\times2-3=1\). Donc \(f(2)=-2\) et \(f'(2)=1\).
2. On applique la formule de la tangente au point d'abscisse \(a=2\) : \(y=f'(2)(x-2)+f(2) = 1\times(x-2)+(-2) = x-2-2\). Donc la tangente a pour équation \(y=x-4\).
Contrôle de cohérence rapide : le point \(A(2\,;-2)\) doit vérifier l'équation trouvée : \(2-4=-2\), c'est bien le cas.
On considère la fonction définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x)=-x+\ln(x)\).
1. Calculer \(f(1)\) et \(f'(x)\), puis \(f'(1)\).
2. En déduire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 1. Que remarque-t-on ?
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1. \(f(1) = -1+\ln(1) = -1+0=-1\). La dérivée est \(f'(x) = -1+\dfrac1x\) (dérivée de \(-x\) plus dérivée de \(\ln(x)\)), donc \(f'(1)=-1+1=0\). Donc \(f(1)=-1\) et \(f'(1)=0\).
2. La tangente au point d'abscisse 1 a pour équation \(y=f'(1)(x-1)+f(1) = 0\times(x-1)+(-1)\). Donc la tangente a pour équation \(y=-1\) : c'est une droite horizontale, puisque \(f'(1)=0\).
On remarque que \(x=1\) est aussi le domaine où \(\ln\) commence tout juste à exister (\(x>0\)) : ce n'est pas un hasard de calcul mais une coïncidence numérique de cet exemple, pas une règle générale. Ce qui compte est que \(f'(1)=0\) signale un extremum local (ici un maximum, car \(f'(x)>0\) pour \(x<1\) et \(f'(x)<0\) pour \(x>1\)).
Un capteur ou un actionneur a souvent une réponse non linéaire. En régulation, on remplace fréquemment ce modèle par son approximation affine locale — sa tangente — au voisinage d'un point de fonctionnement donné. Cette linéarisation permet ensuite d'utiliser les outils de l'automatique linéaire (fonction de transfert, PID). Elle n'est valable qu'au voisinage du point choisi.
Un capteur de débit suit \(Q(p)=12\sqrt{p}\), avec \(Q\) en m³/h et \(p\) en bar (déjà rencontré au chapitre 02).
1. Calculer \(Q(4)\) et \(Q'(p)\), puis \(Q'(4)\).
2. Donner l'équation de la tangente à la courbe au point de fonctionnement \(p=4\) bar (modèle linéarisé \(Q_{lin}\)).
3. Comparer \(Q(4{,}1)\) et \(Q_{lin}(4{,}1)\). Que peut-on en conclure sur la validité du modèle linéarisé au voisinage de \(p=4\) ?
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1. \(Q(4) = 12\sqrt4 = 12\times2=24\). Comme \(\sqrt p\) a pour dérivée \(\dfrac{1}{2\sqrt p}\), on a \(Q'(p) = 12\times\dfrac{1}{2\sqrt p} = \dfrac{6}{\sqrt p}\), donc \(Q'(4)=\dfrac{6}{2}=3\). Donc \(Q(4)=24\) m³/h et \(Q'(4)=3\).
2. Le modèle linéarisé est la tangente au point de fonctionnement \(p=4\) : \(Q_{lin}(p) = Q'(4)(p-4)+Q(4) = 3(p-4)+24 = 3p-12+24\). Donc \(Q_{lin}(p) = 3p+12\).
3. \(Q(4{,}1) = 12\sqrt{4{,}1} \approx 12\times2{,}0248 \approx 24{,}30\) m³/h (valeur approchée). \(Q_{lin}(4{,}1) = 3\times4{,}1+12 = 12{,}3+12 = 24{,}3\) m³/h (valeur exacte du modèle affine). Les deux valeurs coïncident à moins de 0,01 m³/h près.
Conclusion : le modèle linéarisé \(Q_{lin}\) est une excellente approximation tout près du point de fonctionnement \(p=4\) bar, mais cette qualité d'approximation se dégrade à mesure qu'on s'en éloigne — c'est le principe (et la limite) de toute linéarisation locale en régulation.
4. Dérivées usuelles et règles de dérivation
| \(f(t)\) | \(f'(t)\) | \(f(t)\) | \(f'(t)\) |
|---|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(0\) | \(\sin(t)\) | \(\cos(t)\) |
| \(t^n\) | \(nt^{n-1}\) | \(\cos(t)\) | \(-\sin(t)\) |
| \(1/t\) | \(-1/t^2\) | \(\tan(t)\) | \(1+\tan(t)^2\) |
| \(\sqrt t\) | \(1/(2\sqrt t)\) | \(\arctan(t)\) | \(1/(1+t^2)\) |
| \(t^\alpha\) | \(\alpha t^{\alpha-1}\) | \(\ln(t)\) | \(1/t\) |
| \(e^t\) | \(e^t\) | \(e^{at},\ a\in\mathbb{R}\) | \(a\cdot e^{at}\) |
| Règle | Formule |
|---|---|
| Somme | \((u+v)'=u'+v'\) |
| Produit par une constante | \((ku)'=k\times u'\) |
| Produit | \((uv)'=u'v+uv'\) |
| Inverse | \((1/u)' = -u'/u^2\) |
| Quotient | \((u/v)' = (u'v-uv')/v^2\) |
| Composée — exponentielle | \((e^u)'=u'\cdot e^u\) |
| Composée — logarithme | \((\ln(u))' = u'/u\) |
| Composée — puissance | \((u^\alpha)' = \alpha u^{\alpha-1}u'\) |
| Composée — sinus | \((\sin(u))'=u'\cdot\cos(u)\) |
| Composée — cosinus | \((\cos(u))'=-u'\cdot\sin(u)\) |
\(f(x)=2x^3+3x^2+2x+1\) \(f(t)=3\cos(t)-2\sin(t)\).
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Pour \(f(x)=2x^3+3x^2+2x+1\), on dérive terme à terme (règle de la somme et du produit par une constante) : \((2x^3)'=6x^2\), \((3x^2)'=6x\), \((2x)'=2\), \((1)'=0\). Donc \(f'(x) = 6x^2+6x+2\).
Pour \(f(t)=3\cos(t)-2\sin(t)\), on dérive de même : \((3\cos(t))'=-3\sin(t)\) et \((-2\sin(t))'=-2\cos(t)\). Donc \(f'(t) = -3\sin(t)-2\cos(t)\).
\(f(x)=(2x-1)(3x+2)\) \(f(x)=x^3(1-\sin(2x))\).
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Pour \(f(x)=(2x-1)(3x+2)\), on pose \(u=2x-1\) (donc \(u'=2\)) et \(v=3x+2\) (donc \(v'=3\)). La règle du produit donne \(f'=u'v+uv' = 2(3x+2)+(2x-1)\times3 = 6x+4+6x-3\). Donc \(f'(x) = 12x+1\). On peut contrôler en développant d'abord \(f(x)=6x^2+x-2\), dont la dérivée directe \(12x+1\) est bien la même.
Pour \(f(x)=x^3(1-\sin(2x))\), on pose \(u=x^3\) (donc \(u'=3x^2\)) et \(v=1-\sin(2x)\) (donc \(v'=-2\cos(2x)\), par la règle de la composée du sinus avec un coefficient 2). La règle du produit donne \(f'(x) = 3x^2(1-\sin(2x))-2x^3\cos(2x)\).
\(f(x)=\dfrac{1}{2x+3}\) \(f(t)=\dfrac{1}{2\cos(t)}\) \(f(x)=\dfrac{2x^2-1}{x}\).
Retrouver, par la règle du quotient, la dérivée de \(f(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}\) et contrôler que l'on retombe bien sur la formule de \(\tan'(t)\) du tableau ci-dessus.
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Pour \(f(x)=\dfrac{1}{2x+3}\), on pose \(u=2x+3\) (donc \(u'=2\)) et on applique \((1/u)'=-u'/u^2\) : \(f'(x) = \dfrac{-2}{(2x+3)^2}\).
Pour \(f(t)=\dfrac{1}{2\cos(t)}\), on pose \(u=2\cos(t)\) (donc \(u'=-2\sin(t)\)) et on applique la même règle : \(f'(t)=-u'/u^2 = \dfrac{2\sin(t)}{4\cos(t)^2}\), soit après simplification par 2 : \(f'(t) = \dfrac{\sin(t)}{2\cos(t)^2}\).
Pour \(f(x)=\dfrac{2x^2-1}{x}\) (avec \(x\neq0\)), on pose \(u=2x^2-1\) (donc \(u'=4x\)) et \(v=x\) (donc \(v'=1\)). La règle du quotient donne \(f'=(u'v-uv')/v^2 = \dfrac{4x\times x - (2x^2-1)\times1}{x^2} = \dfrac{4x^2-2x^2+1}{x^2}\), soit \(f'(x) = \dfrac{2x^2+1}{x^2}\).
Pour \(f(t)=\tan(t)=\dfrac{\sin(t)}{\cos(t)}\), on pose \(u=\sin(t)\) (donc \(u'=\cos(t)\)) et \(v=\cos(t)\) (donc \(v'=-\sin(t)\)). La règle du quotient donne \(f'=(u'v-uv')/v^2 = \dfrac{\cos(t)\cos(t)-\sin(t)\times(-\sin(t))}{\cos(t)^2} = \dfrac{\cos(t)^2+\sin(t)^2}{\cos(t)^2}\). Or \(\cos(t)^2+\sin(t)^2=1\) (identité fondamentale), donc \(f'(t)=\dfrac{1}{\cos(t)^2}\), que l'on peut réécrire \(1+\tan(t)^2\) (identité classique). On retrouve bien la formule de \(\tan'(t)\) du tableau des dérivées usuelles, ce qui confirme la cohérence des deux écritures.
\(f(x)=\ln(4x-5)\) \(f(x)=e^{3x}\) \(f(t)=e^{t^2}\) \(f(t)=\cos(3t)\) \(f(t)=\sin(3t+\pi/6)\).
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Pour chacune, on identifie la fonction intérieure \(u\) et on applique la règle de composée correspondante du tableau.
\(f(x)=\ln(4x-5)\) : \(u=4x-5\), \(u'=4\), donc \((\ln(u))'=u'/u\) donne \(f'(x) = \dfrac{4}{4x-5}\).
\(f(x)=e^{3x}\) : \(u=3x\), \(u'=3\), donc \((e^u)'=u'\cdot e^u\) donne \(f'(x) = 3e^{3x}\).
\(f(t)=e^{t^2}\) : \(u=t^2\), \(u'=2t\), donc \(f'(t) = 2t\cdot e^{t^2}\).
\(f(t)=\cos(3t)\) : \(u=3t\), \(u'=3\), donc \((\cos(u))'=-u'\cdot\sin(u)\) donne \(f'(t) = -3\sin(3t)\).
\(f(t)=\sin(3t+\pi/6)\) : \(u=3t+\pi/6\), \(u'=3\) (la constante \(\pi/6\) disparaît en dérivant), donc \((\sin(u))'=u'\cdot\cos(u)\) donne \(f'(t) = 3\cos(3t+\pi/6)\).
Piège fréquent : oublier de multiplier par \(u'\) (le "coefficient intérieur") — c'est la source d'erreur la plus courante sur les fonctions composées.
5. Sens de variation
1. Déterminer \(f'(x)\). 2. Résoudre \(f'(x)=0\). 3. Dresser le tableau de signe de \(f'(x)\). 4. En déduire le tableau de variation de \(f\). Si \(f'\) est positive sur un intervalle, \(f\) y est croissante ; si \(f'\) est négative, \(f\) y est décroissante.
Étudier les variations sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x)=-x^2+4x-1\).
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On calcule la dérivée : \(f'(x) = -2x+4\). On résout \(f'(x)=0\) : \(-2x+4=0 \iff x=2\).
Le coefficient de \(x\) dans \(f'\) étant négatif (\(-2\)), \(f'(x)\) est positive avant la racine et négative après : \(f'(x)>0\) pour \(x<2\), \(f'(x)<0\) pour \(x>2\).
Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;2]\) et décroissante sur \([2\,;+\infty[\), avec un maximum en \(x=2\) : \(f(2)=-4+8-1=3\).
Cohérent avec l'allure attendue d'une parabole tournée vers le bas (coefficient de \(x^2\) négatif) : un maximum, pas de minimum.
\(f'(a)=0\) ne signifie pas toujours qu'il y a un extremum. Un extremum apparaît seulement lorsque \(f'\) change de signe en s'annulant. Si \(f'\) s'annule sans changer de signe, il n'y a pas d'extremum : c'est le cas de \(f(x)=x^3\), pour laquelle \(f'(x)=3x^2\geqslant0\) partout, avec \(f'(0)=0\) — \(f\) est pourtant strictement croissante sur \(\mathbb{R}\). On retrouve le même phénomène au chapitre 03 avec \(g(x)=\tan(x)-x\), où \(g'(x)=\tan(x)^2\geqslant0\).
On considère la fonction définie sur \([-6\,;9]\) par \(f(x)=2x^3-9x^2-108x+100\).
1. \(f'(x)=6x^2-18x-108=6(x-6)(x+3)\).
2. \(f'(x)=0\) pour \(x=6\) ou \(x=-3\), les deux valeurs appartenant à \([-6\,;9]\).
3. Le coefficient dominant de \(f'\) étant positif, \(f'(x)\) est positive à l'extérieur des racines, négative entre elles.
| \(x\) | \(-6\) | \(-3\) | \(6\) | \(9\) |
|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ↗ | ↘ | ↗ |
Avec \(f(-6)=-8\), \(f(-3)=289\), \(f(6)=-440\) et \(f(9)=-143\). f admet donc un maximum local en \(x=-3\) et un minimum local en \(x=6\).
Cet exemple est entièrement résolu dans le cours (ce n'est pas un exercice à faire soi-même) : il sert de modèle de rédaction pour l'exercice suivant et pour l'application CIRA ci-dessous, qui suivent exactement la même méthode en 4 étapes.
Un générateur de résistance interne \(R_g\) et de force électromotrice \(E\) alimente une résistance de charge \(R_L\). La puissance reçue par la charge vérifie : \(P(R) = \dfrac{E^2R}{(R_g+R)^2}\), où l'on note \(R=R_L\) pour alléger l'écriture (\(R_g\) est fixée par le générateur).
1. En utilisant la règle du quotient, montrer que \(P'(R) = E^2\times\dfrac{R_g-R}{(R_g+R)^3}\).
2. En déduire que \(P\) admet un maximum lorsque \(R=R_g\) (c'est le théorème du transfert de puissance maximale, ou adaptation d'impédance).
3. Pour \(E=12\) V et \(R_g=50\ \Omega\), calculer la valeur maximale de \(P\), puis comparer avec \(P(40)\) et \(P(60)\) pour contrôler la cohérence.
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1. On pose \(u=E^2R\) (donc \(u'=E^2\), \(E\) et \(R_g\) étant des constantes vis-à-vis de la variable \(R\)) et \(v=(R_g+R)^2\) (donc \(v'=2(R_g+R)\), par la règle de la composée-puissance). La règle du quotient donne : \(P'(R) = \dfrac{u'v-uv'}{v^2} = \dfrac{E^2(R_g+R)^2 - E^2R\times2(R_g+R)}{(R_g+R)^4}\). On factorise \(E^2(R_g+R)\) au numérateur : \(E^2(R_g+R)\big[(R_g+R)-2R\big] = E^2(R_g+R)(R_g-R)\). En simplifiant par \((R_g+R)\) au numérateur et au dénominateur : \(P'(R) = E^2\times\dfrac{R_g-R}{(R_g+R)^3}\), comme annoncé.
2. Pour \(R>0\) et \(R_g>0\), le dénominateur \((R_g+R)^3\) est toujours strictement positif, et \(E^2>0\). Le signe de \(P'(R)\) est donc celui de \((R_g-R)\) : positif pour \(R \lt R_g\), négatif pour \(R \gt R_g\). \(P\) est donc croissante puis décroissante : \(P\) admet bien un maximum en \(R=R_g\).
3. Avec \(E=12\) et \(R_g=50\) : \(P(50) = \dfrac{12^2\times50}{(50+50)^2} = \dfrac{144\times50}{10000} = \dfrac{7200}{10000}\), soit \(P(50)=0{,}72\) W. Pour comparer : \(P(40) = \dfrac{144\times40}{90^2} = \dfrac{5760}{8100}\approx0{,}711\) W, et \(P(60)=\dfrac{144\times60}{110^2}=\dfrac{8640}{12100}\approx0{,}714\) W.
Les deux valeurs de contrôle (\(0{,}711\) W et \(0{,}714\) W) sont bien inférieures à \(0{,}72\) W obtenu pile à \(R=R_g\) : cela confirme numériquement que \(R=R_g\) est bien le maximum, sans avoir besoin de refaire toute l'étude de signe.
Application finale — Synthèse CIRA
Un système du premier ordre présente un indicateur de performance modélisé, pour \(t\geqslant0\), par : \(J(t)=t\times e^{-t/5}\).
1. Calculer \(J'(t)\) (dérivée d'un produit, avec une fonction composée). Montrer que \(J'(t)=e^{-t/5}(1-t/5)\).
2. Étudier le signe de \(J'(t)\) sur \([0\,;+\infty[\) et en déduire le tableau de variation de \(J\). En quelle valeur de \(t\) le maximum est-il atteint ? Calculer ce maximum.
3. Calculer \(J(0)\) et \(J'(0)\). En déduire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
4. Interpréter physiquement cette tangente à l'origine : elle donne la vitesse initiale de réponse du système, avant que l'amortissement en \(e^{-t/5}\) ne prenne le dessus.
Voir la correction
1. On pose \(u=t\) (donc \(u'=1\)) et \(v=e^{-t/5}\) (donc \(v'=-\tfrac15 e^{-t/5}\), par la règle de la composée-exponentielle avec la fonction intérieure \(-t/5\) de dérivée \(-1/5\)). La règle du produit donne \(J'(t) = u'v+uv' = e^{-t/5} + t\times\big(-\tfrac15 e^{-t/5}\big) = e^{-t/5}\Big(1-\dfrac{t}{5}\Big)\) en factorisant par \(e^{-t/5}\). On retrouve bien \(J'(t)=e^{-t/5}(1-t/5)\).
2. Sur \([0\,;+\infty[\), le facteur \(e^{-t/5}\) est toujours strictement positif (une exponentielle ne s'annule jamais). Le signe de \(J'(t)\) est donc celui de \((1-t/5)\) : positif pour \(t<5\), nul en \(t=5\), négatif pour \(t>5\). Donc \(J\) est croissante sur \([0\,;5]\) et décroissante sur \([5\,;+\infty[\) : le maximum est atteint en \(t=5\), avec \(J(5) = 5\times e^{-1} = \dfrac{5}{e}\approx1{,}84\).
3. \(J(0) = 0\times e^0 = 0\). \(J'(0) = e^0\times(1-0) = 1\). La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation \(y=J'(0)(t-0)+J(0) = 1\times t + 0\). Donc la tangente à l'origine a pour équation \(y=t\).
4. Le coefficient directeur de la tangente à l'origine, \(J'(0)=1\), donne la vitesse instantanée à laquelle l'indicateur \(J\) démarre sa montée : juste après \(t=0\), le système répond quasiment comme s'il suivait la droite \(y=t\). Ce n'est qu'au fur et à mesure que \(t\) augmente que le facteur d'amortissement \(e^{-t/5}\) freine cette croissance, jusqu'à inverser la tendance après le maximum en \(t=5\) — comportement typique d'un système du premier ordre soumis à une entrée impulsionnelle.