Chapitre 06 — Limites et comportements asymptotiques
Corrections détaillées et repliables pour chaque exercice du chapitre. Cliquer sur « Voir la correction » pour dérouler le corrigé. La mention à côté du titre (Socle, Consolidation, Approfondissement, Défi CIRA) indique le niveau de difficulté, du plus accessible au plus exigeant.
1. Limite en un point
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage d'un réel \(a\) (sauf peut-être en \(a\)), et \(L\) un réel. On dit que \(f\) a pour limite \(L\) en \(a\), et on note \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=L\), lorsque \(f(x)\) se rapproche autant que l'on veut de \(L\) dès que \(x\) se rapproche suffisamment de \(a\). Si \(f\) est définie et continue en \(a\) (cas de toutes les fonctions usuelles sur leur domaine), il suffit de remplacer \(x\) par \(a\). Lorsque la fonction n'est définie que d'un côté de \(a\), on précise le sens avec un exposant : \(x\to a^+\) ou \(x\to a^-\).
Ces trois fonctions sont continues sur \(\mathbb{R}\) : la limite s'obtient en remplaçant simplement \(x\) par la valeur donnée. Calculer : 1. \(\displaystyle\lim_{x\to2}3x-1\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to0}x^2+1\) 3. \(\displaystyle\lim_{x\to-1}2x^2-3x+4\).
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1. Par substitution directe : \(3\times2-1=5\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to2}3x-1=5\).
2. \(0^2+1=1\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to0}x^2+1=1\).
3. \(2\times(-1)^2-3\times(-1)+4=2+3+4=9\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to-1}2x^2-3x+4=9\).
1. On considère \(f(x)=\dfrac{1}{x-3}\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)\) puis \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)\). Que peut-on en conclure sur la courbe de \(f\) ?
2. On considère \(g(x)=\dfrac{1}{x^2}\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)\).
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1. Quand \(x\to3^+\), \(x-3\to0^+\) (valeurs positives de plus en plus petites), donc \(\dfrac{1}{x-3}\to+\infty\). Quand \(x\to3^-\), \(x-3\to0^-\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to3^+}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to3^-}f(x)=-\infty\). La courbe de \(f\) admet une asymptote verticale d'équation \(x=3\).
2. Ici \(x^2\) est toujours positif (ou nul), donc \(x^2\to0^+\) des deux côtés de 0 : \(\displaystyle\lim_{x\to0}g(x)=+\infty\), le résultat est bien le même des deux côtés.
C'est la puissance du dénominateur qui décide : impaire (comme \(x-3\)), le signe change ; paire (comme \(x^2\)), le signe ne change pas.
Pour \(1/(x-3)\), le signe du résultat change selon le sens d'approche. Pour \(1/x^2\), le dénominateur reste toujours positif, donc la limite est la même des deux côtés : \(+\infty\). Quand une limite en un point est infinie, la courbe de \(f\) admet une asymptote verticale en ce point.
2. Limites de référence en +∞ et −∞
| Fonction | Limite en +∞ | Limite en −∞ |
|---|---|---|
| \(x^n\) (\(n\) pair) | \(+\infty\) | \(+\infty\) |
| \(x^n\) (\(n\) impair) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(1/x^n\) (\(n\geqslant1\)) | \(0\) | \(0\) |
| \(\sqrt x\) | \(+\infty\) | (domaine \(x\geqslant0\)) |
| \(e^x\) | \(+\infty\) | \(0\) |
| \(\ln(x)\) | \(+\infty\) | (domaine \(x>0\)) |
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^3\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^2\) 3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}1/x\) 4. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^x\) 5. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^x\).
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Résultats directs de connaître par cœur : 1. \(+\infty\) (\(n=3\) impair). 2. \(+\infty\) (\(n=2\) pair). 3. \(0\). 4. \(+\infty\). 5. \(0\).
En +∞, \(x^n\) tend toujours vers \(+\infty\). En −∞ en revanche, tout dépend de la parité de \(n\) : \((-2)^4\) est positif mais \((-2)^5\) est négatif. Avant de conclure une limite en −∞, vérifier systématiquement : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^4=+\infty\) mais \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^5=-\infty\).
1. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x\) 3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}1/x^2\).
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1. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\ln(x)=-\infty\) (résultat de référence, à connaître). 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt x=+\infty\). 3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}1/x^2=0\).
La réponse d'un système du premier ordre soumis à un échelon s'écrit typiquement \(s(t)=E\big(1-e^{-t/\tau}\big)\) pour \(t\geqslant0\), où \(E\) est la valeur finale visée et \(\tau\) la constante de temps. Le comportement de \(s(t)\) quand \(t\to+\infty\) correspond au régime permanent (ou établi) du système, une fois les phénomènes transitoires terminés.
Un système du premier ordre a pour réponse indicielle, pour \(t\geqslant0\) : \(s(t)=E\big(1-e^{-t/\tau}\big)\), avec \(E=10\) V et \(\tau=2\) s.
1. Calculer \(s(0)\). Que représente cette valeur ?
2. Déterminer \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}s(t)\). Que représente cette limite pour le système ? Comparer à la valeur de \(E\).
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1. \(s(0) = E(1-e^0) = E(1-1) = 0\). \(s(0)=0\) : c'est la valeur initiale du système, avant tout démarrage (aucune réponse encore construite à \(t=0\)).
2. Quand \(t\to+\infty\), \(-t/\tau\to-\infty\), donc \(e^{-t/\tau}\to0\) (limite de référence). Ainsi \(s(t)\to E(1-0)=E\). Donc \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}s(t)=E=10\) V : cette limite est exactement la valeur finale visée, atteinte une fois le régime transitoire terminé.
Le système atteint donc, en théorie, exactement sa consigne à l'infini — en pratique, on considère le régime établi atteint après quelques constantes de temps \(\tau\) (typiquement \(5\tau\)).
3. Opérations sur les limites — somme et produit
Les limites d'une somme ou d'un produit s'obtiennent en combinant les limites de chaque terme, sauf dans deux cas de forme indéterminée (FI) qu'il faut alors lever par une transformation d'écriture : \(+\infty-\infty\) pour la somme, \(0\times(\pm\infty)\) pour le produit.
Aucune de ces limites n'est une forme indéterminée. 1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2+x\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-x^3+2\) 3. \(\displaystyle\lim_{x\to0}e^x+x^2\).
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1. \(x^2\to+\infty\) et \(x\to+\infty\) : somme de deux \(+\infty\), donc \(+\infty\).
2. \(x^3\to-\infty\) donc \(-x^3\to+\infty\), et \(2\) reste fini : \(+\infty\).
3. Par continuité, substitution directe : \(e^0+0^2=1+0=1\), donc \(1\).
1. \(\displaystyle\lim_{x\to0}(e^x+4)(e^x-2)\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-2x+1)e^x\) 3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x-1)x^3\).
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1. Par continuité : \((e^0+4)(e^0-2)=(1+4)(1-2)=5\times(-1)\), donc \(-5\).
2. \(-2x+1\to-\infty\) et \(e^x\to+\infty\) : produit d'un facteur négatif infini par un facteur positif infini, donc \(-\infty\).
3. \(x-1\to-\infty\) et \(x^3\to-\infty\) : produit de deux facteurs négatifs infinis, donc \(+\infty\) (règle des signes, comme pour les nombres relatifs).
On factorise par le terme dominant (celui qui l'emporte le plus vite à l'infini). Exemple : pour \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2-x^4\), on factorise par \(x^4\) : \(x^2-x^4=x^4(1/x^2-1)\). Or \(1/x^2\to0\), donc la parenthèse tend vers \(-1\) : on est ramené au produit \(x^4\times(-1)\), qui n'est plus indéterminé.
En factorisant par le terme dominant, déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2-x^4\).
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On écrit \(x^2-x^4=x^4\Big(\dfrac{1}{x^2}-1\Big)\). Quand \(x\to+\infty\), \(x^4\to+\infty\) et \(1/x^2\to0\) donc la parenthèse tend vers \(-1\). On obtient un produit \((+\infty)\times(-1)\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^2-x^4=-\infty\).
À l'infini, l'exponentielle « écrase » toujours les puissances de \(x\), qui elles-mêmes écrasent le logarithme. On admet en particulier : 1. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\cdot e^x=0\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\cdot\ln(x)=0\) 3. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty\). Ces trois résultats permettent de lever directement des formes indéterminées « \(0\times\infty\) ».
1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\cdot e^{-x}\) (indication : poser \(u=-x\) et se ramener au premier résultat admis).
2. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\cdot\ln(x)\) directement.
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1. On pose \(u=-x\). Quand \(x\to+\infty\), \(u\to-\infty\), et \(x\cdot e^{-x}=(-u)\cdot e^u=-\big(u\cdot e^u\big)\). Or \(\displaystyle\lim_{u\to-\infty}u\cdot e^u=0\) (résultat admis), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x\cdot e^{-x}=0\).
2. Directement par le deuxième résultat admis : \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}x\cdot\ln(x)=0\).
4. Opérations sur les limites — inverse et quotient
\(\displaystyle\lim f=0^+ \Rightarrow \lim 1/f=+\infty\) ; \(\lim f=0^- \Rightarrow \lim 1/f=-\infty\) ; \(\lim f=\pm\infty \Rightarrow \lim 1/f=0\). Pour un quotient \(f/g\), on retrouve les mêmes règles de signe qu'un produit \(f\times(1/g)\), sauf dans les deux cas de forme indéterminée : \(0/0\) et \(\infty/\infty\).
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}1/(x^2+1)\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}1/\ln(x)\) 3. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}1/(e^x+4)\).
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1. \(x^2+1\to+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^2+1}=0\).
2. \(\ln(x)\to-\infty\) quand \(x\to0^+\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{1}{\ln(x)}=0\) (plus précisément \(0^-\)).
3. \(e^x\to0\) quand \(x\to-\infty\), donc \(e^x+4\to4\) (fini, non nul) : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{1}{e^x+4}=\dfrac14\).
Dans les deux cas suivants, ce n'est pas une forme indéterminée, mais il faut bien suivre les signes. 1. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln(x)}{x-1}\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{x-4}{x}\).
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1. Numérateur \(\ln(x)\to-\infty\), dénominateur \(x-1\to-1\) (fini, négatif). Un infini négatif divisé par un fini négatif donne un résultat positif infini : \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln(x)}{x-1}=+\infty\).
2. Numérateur \(x-4\to-4\) (fini, non nul), dénominateur \(x\to0^+\) : un fini négatif divisé par un infiniment petit positif donne \(\displaystyle\lim_{x\to0^+}\dfrac{x-4}{x}=-\infty\).
Quand un quotient conduit à \(0/0\) au voisinage d'un point \(a\), c'est en général que \((x-a)\) est un facteur commun au numérateur et au dénominateur. On factorise, on simplifie ce facteur (valable pour \(x\neq a\), ce qui suffit pour une limite), puis on remplace \(x\) par \(a\).
On considère \(f(x)=\dfrac{x^2-4}{x-2}\).
1. Vérifier que le numérateur et le dénominateur s'annulent tous les deux en \(x=2\).
2. Factoriser le numérateur, simplifier par \((x-2)\), puis en déduire \(\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)\).
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1. Numérateur : \(2^2-4=0\). Dénominateur : \(2-2=0\). On a bien une forme \(0/0\) en \(x=2\).
2. On factorise \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) (identité remarquable). Donc, pour \(x\neq2\) : \(f(x)=\dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2}=x+2\). En remplaçant \(x\) par 2 dans l'expression simplifiée : \(\displaystyle\lim_{x\to2}f(x)=2+2=4\).
La simplification par \((x-2)\) est valable partout sauf en \(x=2\) — mais c'est exactement ce qu'il faut pour calculer une limite, qui ne dépend jamais de la valeur exacte au point lui-même.
5. Limites de fonctions composées
Pour calculer la limite d'une composée \(v\circ u\) en un point \(a\), on procède en deux temps : on pose \(X=u(x)\), on détermine vers quelle valeur (ou quel infini) tend \(X\) quand \(x\to a\), puis on applique la limite de \(v\) en cette valeur. Exemple : pour \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x+3}\), on pose \(X=x+3\). Quand \(x\to-\infty\), \(X\to-\infty\), et \(e^X\to0\) : la limite cherchée est \(0\).
1. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x+3}\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(2x+1)\).
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1. \(x+3\to-\infty\), donc \(e^{x+3}\to0\) : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x+3}=0\).
2. \(2x+1\to+\infty\), donc \(\ln(2x+1)\to+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln(2x+1)=+\infty\).
1. \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+1}\) 2. \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-2x+2)e^{-2x}\).
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1. \(x^2+1\to+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2+1}=+\infty\).
2. Quand \(x\to-\infty\) : \(-2x+2\to+\infty\) et \(-2x\to+\infty\) donc \(e^{-2x}\to+\infty\). Produit de deux facteurs tendant vers \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-2x+2)e^{-2x}=+\infty\).
Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(4x-3)^3\).
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Quand \(x\to-\infty\), \(4x-3\to-\infty\). Le cube d'un nombre tendant vers \(-\infty\) tend aussi vers \(-\infty\) (puissance impaire) : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(4x-3)^3=-\infty\).
Le module du gain d'un filtre passe-bas du premier ordre s'écrit \(G(\omega)=\dfrac{G_0}{\sqrt{1+(\omega/\omega_0)^2}}\), où \(G_0\) est le gain statique et \(\omega_0\) la pulsation de coupure. Le comportement de cette expression quand \(\omega\to0\) puis \(\omega\to+\infty\) décrit exactement ce que fait le filtre : laisser passer les basses fréquences, atténuer les hautes fréquences.
On considère le gain d'un filtre passe-bas du premier ordre : \(G(\omega)=\dfrac{G_0}{\sqrt{1+(\omega/\omega_0)^2}}\).
1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{\omega\to0}G(\omega)\).
2. Déterminer \(\displaystyle\lim_{\omega\to+\infty}G(\omega)\).
3. Interpréter chacun de ces deux résultats en termes de comportement du filtre.
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1. Quand \(\omega\to0\), \((\omega/\omega_0)^2\to0\), donc \(1+(\omega/\omega_0)^2\to1\) et \(\sqrt{1+(\omega/\omega_0)^2}\to1\). Donc \(\displaystyle\lim_{\omega\to0}G(\omega)=G_0\).
2. Quand \(\omega\to+\infty\), \((\omega/\omega_0)^2\to+\infty\), donc \(1+(\omega/\omega_0)^2\to+\infty\) et \(\sqrt{1+(\omega/\omega_0)^2}\to+\infty\). Le quotient \(G_0\) (fini) sur un dénominateur infini tend vers \(0\) : \(\displaystyle\lim_{\omega\to+\infty}G(\omega)=0\).
3. À basse fréquence (\(\omega\to0\)), le filtre laisse passer le signal presque sans atténuation : le gain vaut \(G_0\), le gain statique. À haute fréquence (\(\omega\to+\infty\)), le gain s'effondre vers 0 : le filtre atténue de plus en plus fortement le signal — c'est exactement le comportement attendu d'un filtre passe-bas.
6. Polynômes et fractions rationnelles à l'infini
Au voisinage de l'infini, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré, et une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré. Ce résultat découle de la factorisation par le terme dominant : \(x^4+3x^2+2x+11=x^4\big(1+3/x^2+2/x^3+11/x^4\big)\), et chaque terme entre parenthèses tend vers 0 sauf le « 1 ».
En identifiant le terme de plus haut degré, déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^4+3x^2+2x+11\).
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Le terme de plus haut degré est \(x^4\), qui tend vers \(+\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}x^4+3x^2+2x+11=+\infty\).
En identifiant le quotient des termes de plus haut degré, déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2+5}{-3x+12}\).
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Le quotient des termes de plus haut degré est \(\dfrac{2x^2}{-3x}=-\dfrac{2}{3}x\). Quand \(x\to+\infty\), \(-\dfrac23x\to-\infty\) : \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^2+5}{-3x+12}=-\infty\).
On reprend la fonction de l'exercice précédent. 1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x^2+5}{-3x+12}\).
2. Comparer avec le résultat précédent : le signe change-t-il ? Pourquoi ?
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1. Le quotient des termes de plus haut degré est toujours \(-\dfrac23x\). Quand \(x\to-\infty\), \(-\dfrac23x\to+\infty\) (un nombre négatif multiplié par \(x\to-\infty\) donne \(+\infty\)) : \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\dfrac{2x^2+5}{-3x+12}=+\infty\).
2. Oui, le signe change entre les deux limites : \(-\infty\) en \(+\infty\), \(+\infty\) en \(-\infty\). C'est cohérent avec le comportement du terme dominant \(-\dfrac23x\), qui est une fonction affine de coefficient directeur négatif — comme pour n'importe quelle fonction affine décroissante, sa limite change de signe entre \(+\infty\) et \(-\infty\).
On considère la fonction définie sur \(]-2\,;+\infty[\) par \(f(x)=x-2+\dfrac{4}{x+2}\).
1. Quand \(x\to-2^+\), \(x+2\to0^+\), donc \(4/(x+2)\to+\infty\) et \(x-2\to-4\) (fini) : la somme tend vers \(+\infty\). La droite \(x=-2\) est asymptote verticale à la courbe.
2. Quand \(x\to+\infty\), \(4/(x+2)\to0\). Autrement dit, \(f(x)-(x-2)\to0\) : la courbe de \(f\) se rapproche indéfiniment de la droite \(y=x-2\), sans jamais forcément la toucher. Cette droite est asymptote oblique à la courbe en \(+\infty\).
Cet exemple est entièrement résolu dans le cours : il sert de modèle de rédaction pour repérer et justifier une asymptote oblique, une notion qui prolonge directement l'étude des fractions rationnelles ci-dessus.
Application finale — Synthèse CIRA
Un correcteur est réglé de sorte que l'écart entre la consigne et la mesure, pour \(t\geqslant0\) (\(t\) en secondes), suive : \(e(t)=(1+4t)e^{-2t}\).
1. Calculer \(e(0)\). Déterminer \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}e(t)\) (indication : écrire \(e(t)=e^{-2t}+4t\cdot e^{-2t}\) et utiliser les croissances comparées de la section 3). Interpréter ce résultat.
2. Calculer \(e'(t)\) (dérivée d'un produit, avec une fonction composée). Montrer que \(e'(t)=2e^{-2t}(1-4t)\).
3. Étudier le signe de \(e'(t)\) sur \(]0\,;+\infty[\) et en déduire le tableau de variation de \(e\). En quelle valeur de \(t\) le maximum est-il atteint ? Calculer ce maximum.
4. Calculer \(e'(0)\). En déduire l'équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0, et interpréter sa pente.
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1. \(e(0)=(1+0)e^0=1\times1=1\). Pour la limite en \(+\infty\), on écrit \(e(t)=e^{-2t}+4t\cdot e^{-2t}\). Le premier terme \(e^{-2t}\to0\). Pour le second, on pose \(u=-2t\) : quand \(t\to+\infty\), \(u\to-\infty\), et \(4t\cdot e^{-2t}=4\times\big(-\tfrac{u}{2}\big)\times e^u=-2\,u\,e^u\). Or \(\displaystyle\lim_{u\to-\infty}u\cdot e^u=0\) (croissances comparées), donc \(-2u\,e^u\to0\). La somme des deux termes tend donc vers 0 : \(e(0)=1\) et \(\displaystyle\lim_{t\to+\infty}e(t)=0\). Ce résultat signifie que l'écart de réglage s'annule à long terme : le correcteur élimine bien l'erreur statique, la mesure finit par rejoindre exactement la consigne.
2. On pose \(u=1+4t\) (donc \(u'=4\)) et \(v=e^{-2t}\) (donc \(v'=-2e^{-2t}\), composée de l'exponentielle avec la fonction intérieure \(-2t\)). La règle du produit donne \(e'(t)=u'v+uv' = 4e^{-2t}+(1+4t)\times(-2)e^{-2t} = e^{-2t}\big[4-2(1+4t)\big] = e^{-2t}(4-2-8t) = e^{-2t}(2-8t)\), soit en factorisant par 2 : \(e'(t)=2e^{-2t}(1-4t)\), comme annoncé.
3. Sur \(]0\,;+\infty[\), \(e^{-2t}\) est toujours strictement positif, donc le signe de \(e'(t)\) est celui de \((1-4t)\) : positif pour \(t<1/4\), nul en \(t=1/4\), négatif pour \(t>1/4\). Donc \(e\) est croissante sur \([0\,;1/4]\) et décroissante sur \([1/4\,;+\infty[\) : le maximum est atteint en \(t=1/4\), avec \(e(1/4)=(1+1)e^{-1/2}=2e^{-0,5}\approx1{,}21\). C'est le dépassement (overshoot) du correcteur.
4. \(e'(0)=2e^0(1-0)=2\times1=2\). La tangente au point d'abscisse 0 a pour équation \(y=e'(0)(t-0)+e(0)=2t+1\). Donc la tangente à l'origine a pour équation \(y=2t+1\). La pente \(e'(0)=2\) donne la vitesse initiale à laquelle l'écart évolue juste après \(t=0\) : ici positive, ce qui signifie que l'écart commence par augmenter (dépassement) avant de finalement redescendre vers 0 après \(t=1/4\), comme le confirme le tableau de variation de la question 3.
