Chapitre 07 — Calcul intégral
Corrections détaillées et repliables pour chaque exercice du chapitre. Cliquer sur « Voir la correction » pour dérouler le corrigé. La mention à côté du titre (Socle, Consolidation, Approfondissement, Défi CIRA) indique le niveau de difficulté, du plus accessible au plus exigeant.
1. Primitives
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). On appelle primitive de \(f\) toute fonction \(F\) dérivable sur \(I\) vérifiant \(F'(x)=f(x)\). Si \(f\) admet une primitive \(F\), toutes les primitives de \(f\) sont les fonctions \(F(x)+k\) (\(k\) réel quelconque). Avec une condition initiale \(F(x_0)=y_0\), il existe une unique primitive vérifiant cette condition — le principe utilisé pour retrouver une charge électrique ou une position à partir d'une vitesse.
| Fonction \(f\) | Une primitive \(F\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n\geqslant1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(1/x^2\) | \(-1/x\) | \(]-\infty\,;0[\) ou \(]0\,;+\infty[\) |
| \(1/x\) | \(\ln(x)\) | \(]0\,;+\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos(x)\) | \(\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(x)\) | \(-\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
En utilisant directement le tableau ci-dessus : 1. \(f(x)=4\) 2. \(f(x)=x^3\) 3. \(f(t)=t^5\).
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1. Primitive d'une constante \(k=4\) : \(F(x)=4x\).
2. Avec \(n=3\) : \(\dfrac{x^{3+1}}{3+1}=\dfrac{x^4}{4}\), donc \(F(x)=\dfrac{x^4}{4}\).
3. Avec \(n=5\) : \(F(t)=\dfrac{t^6}{6}\).
1. \(f(x)=x^2-3x\) 2. \(g(x)=5x^3\).
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1. Primitive de \(x^2\) : \(x^3/3\). Primitive de \(-3x\) : \(-3\times x^2/2=-\tfrac32x^2\). Donc \(F(x)=\dfrac{x^3}{3}-\dfrac32x^2\).
2. Primitive de \(x^3\) : \(x^4/4\), donc primitive de \(5x^3\) : \(5\times x^4/4\). \(G(x)=\dfrac{5x^4}{4}\).
On peut toujours vérifier en dérivant le résultat trouvé : c'est le meilleur réflexe de contrôle après un calcul de primitive.
2. Opérations sur les primitives
Trois formes reviennent constamment (\(n\) entier relatif, \(n\neq-1\)) :
| Forme de \(f\) | Une primitive \(F\) | Condition |
|---|---|---|
| \(u'u^n\) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) | \(u\) strictement positive si \(n\lt0\) |
| \(u'/u\) | \(\ln|u|\) | \(u\) ne s'annule pas |
| \(u'e^u\) | \(e^u\) | aucune |
Complément, avec \(\omega\) et \(\varphi\) réels, \(\omega\neq0\) :
| Fonction \(f\) | Une primitive \(F\) |
|---|---|
| \(\cos(\omega t+\varphi)\) | \(\dfrac1\omega\sin(\omega t+\varphi)\) |
| \(\sin(\omega t+\varphi)\) | \(-\dfrac1\omega\cos(\omega t+\varphi)\) |
La question à se poser : « existe-t-il une fonction \(u\), visible dans l'expression, dont je reconnais aussi la dérivée \(u'\) en facteur ? ». Attention au facteur constant : si seul \(k\cdot u'\) apparaît (\(k\neq1\)), on divise la primitive trouvée par \(k\). Exemple : pour \(f(t)=e^{\omega t}\), on pose \(u(t)=\omega t\), \(u'(t)=\omega\). On écrit \(f(t)=\tfrac1\omega\cdot\omega\cdot e^{\omega t}\), soit \(1/\omega\) fois la forme \(u'e^u\) : une primitive est \(F(t)=\tfrac1\omega e^{\omega t}\).
1. \(f(t)=2t\,e^{t^2}\) (poser \(u(t)=t^2\)) 2. \(f(t)=e^{3t}\) (même principe, avec \(\omega=3\)).
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1. Avec \(u(t)=t^2\), \(u'(t)=2t\) : on reconnaît exactement la forme \(u'e^u\). Donc \(F(t)=e^{t^2}\).
2. Avec \(u(t)=3t\), \(u'(t)=3\) : \(f(t)=\tfrac13\times3\times e^{3t}\), soit \(1/3\) fois la forme \(u'e^u\). \(F(t)=\dfrac13e^{3t}\).
1. \(f(t)=\dfrac{3t^2}{t^3+1}\) 2. En déduire une primitive de \(g(t)=\dfrac{2t}{(t^2+1)^2}\) (indication : c'est la forme \(u'u^n\) avec \(n=-2\) qu'il faut reconnaître, pas \(u'/u\)).
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1. Avec \(u(t)=t^3+1\), \(u'(t)=3t^2\) : on reconnaît exactement la forme \(u'/u\). Donc \(F(t)=\ln|t^3+1|\).
2. Ici \(u(t)=t^2+1\), \(u'(t)=2t\), et \(g(t)=u'\cdot u^{-2}\) (avec \(n=-2\)). Une primitive de \(u'u^n\) est \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}=\dfrac{u^{-1}}{-1}=-\dfrac1u\). Donc \(G(t)=-\dfrac{1}{t^2+1}\).
Piège classique : une fraction avec un carré au dénominateur n'est presque jamais de la forme \(u'/u\) — vérifier d'abord si l'exposant du dénominateur vaut exactement 1.
\(2t/(t^2+1)^2\) s'écrit aussi \(2t\cdot(t^2+1)^{-2}\), c'est-à-dire \(u'u^n\) avec \(u(t)=t^2+1\) et \(n=-2\) (exposant négatif, \(\neq-1\), donc la formule \(u'/u\) ne s'applique pas ici). Toujours vérifier si l'exposant du dénominateur vaut exactement 1 (→ \(u'/u\), primitive en \(\ln\)) ou une autre valeur (→ \(u'u^n\)).
Un courant électrique s'écrit, pour \(t\geqslant0\) : \(i(t)=I_0\cos(\omega t+\varphi)\), avec \(I_0=0{,}5\) A, \(\omega=100\pi\) rad/s et \(\varphi=0\). La charge \(q(t)\) qui traverse une section du circuit est une primitive du courant : \(q'(t)=i(t)\).
1. Déterminer la forme générale des primitives de \(i\).
2. On impose \(q(0)=0\). En déduire l'expression complète de \(q(t)\).
3. Calculer \(q(0{,}005)\) — un quart de période — arrondi à \(10^{-4}\) près, et interpréter le signe.
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1. D'après le tableau de compléments, une primitive de \(\cos(\omega t+\varphi)\) est \(\tfrac1\omega\sin(\omega t+\varphi)\). Avec \(\varphi=0\) : les primitives de \(i\) sont les fonctions \(q(t)=\dfrac{I_0}{\omega}\sin(\omega t)+k\), \(k\) réel.
2. \(q(0)=\dfrac{I_0}{\omega}\sin(0)+k=0+k\). La condition \(q(0)=0\) donne \(k=0\). Donc \(q(t)=\dfrac{I_0}{\omega}\sin(\omega t)\).
3. \(\dfrac{I_0}{\omega}=\dfrac{0{,}5}{100\pi}\approx0{,}0015915\). Et \(\omega\times0{,}005=100\pi\times0{,}005=0{,}5\pi\), soit un quart de période, où \(\sin(0{,}5\pi)=1\). Donc \(q(0{,}005)\approx0{,}0016\) C. Le résultat est positif : le courant, orienté dans le sens conventionnel positif depuis \(t=0\), a fait circuler une charge positive à travers la section — cohérent avec un courant \(i(t)\) resté positif sur tout ce quart de période.
3. Intégrale d'une fonction
Soit \(f\) dérivable sur \(I\), \(F\) une primitive de \(f\), \(a,b\) deux réels de \(I\). On appelle intégrale de \(a\) à \(b\) de \(f\) le nombre \(\displaystyle\int_a^bf(t)\,dt=F(b)-F(a)\), noté aussi \(\big[F(t)\big]_a^b\). La variable \(t\) est dite muette : \(\displaystyle\int_a^bf(t)\,dt=\int_a^bf(x)\,dx\).
1. \(\displaystyle\int_0^3 4\,dt\) 2. \(\displaystyle\int_1^2(x^2+1)\,dx\) 3. \(\displaystyle\int_1^e\dfrac1t\,dt\).
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1. \(\displaystyle\int_0^34\,dt=\big[4t\big]_0^3=12-0=\)12.
2. \(\displaystyle\int_1^2(x^2+1)\,dx=\Big[\dfrac{x^3}{3}+x\Big]_1^2=\Big(\dfrac83+2\Big)-\Big(\dfrac13+1\Big)=\dfrac{14}{3}-\dfrac43=\)\(\dfrac{10}{3}\).
3. \(\displaystyle\int_1^e\dfrac1t\,dt=\big[\ln(t)\big]_1^e=\ln(e)-\ln(1)=1-0=\)1.
Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^cf(t)\,dt=\int_a^bf(t)\,dt+\int_b^cf(t)\,dt\). Linéarité : \(\displaystyle\int_a^b(\alpha f)\,dt=\alpha\int_a^bf(t)\,dt\). Positivité : si \(f\geqslant0\) sur \([a\,;b]\), alors \(\displaystyle\int_a^bf(t)\,dt\geqslant0\) ; plus généralement, \(f\leqslant g\) sur \([a\,;b]\) donne \(\displaystyle\int_a^bf\,dt\leqslant\int_a^bg\,dt\).
On donne \(\displaystyle\int_0^2f(t)\,dt=5\) et \(\displaystyle\int_2^5f(t)\,dt=-3\).
1. En déduire \(\displaystyle\int_0^5f(t)\,dt\).
2. Sachant que \(\displaystyle\int_0^2g(t)\,dt=4\), calculer \(\displaystyle\int_0^2(3f-2g)\,dt\).
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1. Par la relation de Chasles : \(\displaystyle\int_0^5f(t)\,dt=\int_0^2f(t)\,dt+\int_2^5f(t)\,dt=5+(-3)=\)2.
2. Par linéarité : \(\displaystyle\int_0^2(3f-2g)\,dt=3\int_0^2f\,dt-2\int_0^2g\,dt=3\times5-2\times4=15-8=\)7.
4. Interprétation graphique : calcul d'aires
Soit \(f\) dérivable et positive sur \([a\,;b]\). L'aire \(A\) du domaine délimité par la courbe \(y=f(x)\), l'axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est \(\displaystyle A=\int_a^bf(t)\,dt\), exprimée en unités d'aire (u.a.).
1. Soit \(f\) constante sur \([0\,;2]\), \(f(x)=2\). Calculer l'aire du rectangle par la géométrie, puis vérifier avec \(\displaystyle\int_0^2f(t)\,dt\).
2. Soit \(g\) affine sur \([0\,;5]\), \(g(x)=2x+1\). Calculer l'aire du trapèze par la géométrie, puis vérifier avec \(\displaystyle\int_0^5g(x)\,dx\).
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1. Géométrie : rectangle de largeur 2 et de hauteur 2, aire \(=2\times2=4\). Calcul intégral : \(\displaystyle\int_0^22\,dt=\big[2t\big]_0^2=4-0=4\). Les deux méthodes donnent bien 4 u.a.
2. Géométrie : trapèze de petite base \(g(0)=1\), grande base \(g(5)=11\), hauteur 5 : aire \(=\dfrac{(1+11)\times5}{2}=30\). Calcul intégral : \(\displaystyle\int_0^5(2x+1)\,dx=\big[x^2+x\big]_0^5=(25+5)-0=30\). Les deux méthodes donnent bien 30 u.a.
Déterminer l'aire comprise entre la courbe de \(f(x)=e^x\), l'axe des abscisses et les droites \(x=0\) et \(x=2\).
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\(f\) est positive sur \([0\,;2]\), donc \(\displaystyle A=\int_0^2e^x\,dx=\big[e^x\big]_0^2=e^2-e^0=e^2-1\). \(A=e^2-1\approx6{,}39\) u.a.
Soit \(f\) dérivable et négative sur \([a\,;b]\). L'aire \(A\) du domaine délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites \(x=a\), \(x=b\) est cette fois \(\displaystyle A=-\int_a^bf(t)\,dt\) (l'intégrale d'une fonction négative est négative ; on prend son opposé pour obtenir une aire, toujours positive).
Soit \(f\) définie sur \([0\,;3]\) par \(f(x)=-x^2\). Vérifier que \(f\) est négative, puis déterminer l'aire \(A\) délimitée par la courbe de \(f\), l'axe des abscisses et les droites \(x=0\), \(x=3\).
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Pour tout \(x\), \(x^2\geqslant0\) donc \(f(x)=-x^2\leqslant0\) : \(f\) est bien négative sur \([0\,;3]\). On calcule \(\displaystyle\int_0^3(-x^2)\,dx=\Big[-\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^3=-9-0=-9\). D'après le théorème, \(A=-(-9)=\)9 u.a.
Lorsque \(f(x)\leqslant g(x)\) pour tout \(x\) de \([a\,;b]\), l'aire entre les deux courbes (\(g\) au-dessus, \(f\) en dessous) vaut \(\displaystyle A=\int_a^b\big(g(t)-f(t)\big)\,dt\) (cette formule redonne le théorème précédent quand \(f\) est la fonction nulle).
Sur \([0\,;2]\), on considère \(f(x)=x^2\) et \(g(x)=2x\). Vérifier que \(f(x)\leqslant g(x)\) sur \([0\,;2]\), puis calculer l'aire entre les deux courbes sur cet intervalle.
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\(g(x)-f(x)=2x-x^2=x(2-x)\). Sur \([0\,;2]\), \(x\geqslant0\) et \(2-x\geqslant0\), donc \(g(x)-f(x)\geqslant0\) : bien \(f(x)\leqslant g(x)\) sur tout l'intervalle. On calcule \(\displaystyle A=\int_0^2(2x-x^2)\,dx=\Big[x^2-\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^2=\Big(4-\dfrac83\Big)-0=\dfrac{4}{3}\). \(A=\dfrac43\) u.a.
Un capteur numérique ne connaît une grandeur physique qu'à des instants échantillonnés — il ne « voit » jamais l'expression algébrique de la fonction. Un compteur d'énergie approche \(\displaystyle\int_a^bp(t)\,dt\) par une somme de petits rectangles ou de trapèzes construits sur les mesures successives (méthodes des rectangles, du point-milieu, des trapèzes) : même principe géométrique que l'aire sous la courbe, mais calculé numériquement plutôt qu'avec une primitive.
5. Valeur moyenne et valeur efficace d'un signal
Soit \(f\) dérivable sur \([a\,;b]\), \(a\lt b\). La valeur moyenne de \(f\) sur \([a\,;b]\) est \(\displaystyle f_{moy}=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(t)\,dt\). Interprétation : l'aire sous la courbe de \(f\) égale l'aire du rectangle de largeur \((b-a)\) et de hauteur \(f_{moy}\).
Déterminer la valeur moyenne de \(f(x)=x^2\) sur \([0\,;1]\).
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\(\displaystyle\int_0^1x^2\,dx=\Big[\dfrac{x^3}{3}\Big]_0^1=\dfrac13\). Donc \(\displaystyle f_{moy}=\dfrac{1}{1-0}\times\dfrac13=\)\(\dfrac13\).
Un redresseur simple alternance transforme une tension sinusoïdale en une tension \(u(t)\) nulle une alternance sur deux. Sur une demi-période \((0\,;T/2)\), \(u(t)=U_{max}\sin(\omega t)\), avec \(\omega=2\pi/T\).
1. Calculer \(\displaystyle\int_0^{T/2}u(t)\,dt\) en fonction de \(U_{max}\) et \(T\).
2. En déduire que \(U_{moy}=\dfrac2\pi U_{max}\).
3. Pour \(U_{max}=20\) V, calculer \(U_{moy}\).
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1. Une primitive de \(\sin(\omega t)\) est \(-\tfrac1\omega\cos(\omega t)\). Donc \(\displaystyle\int_0^{T/2}u(t)\,dt=U_{max}\Big[-\dfrac1\omega\cos(\omega t)\Big]_0^{T/2}\). Or \(\omega\times T/2=\pi\), donc \(\cos(\pi)=-1\) et \(\cos(0)=1\). On obtient \(U_{max}\times\Big(-\dfrac1\omega\Big)\big[(-1)-1\big]=U_{max}\times\dfrac2\omega\). Avec \(\omega=2\pi/T\), \(\dfrac2\omega=\dfrac{T}{\pi}\). \(\displaystyle\int_0^{T/2}u(t)\,dt=\dfrac{T}{\pi}U_{max}\).
2. \(\displaystyle U_{moy}=\dfrac{1}{T/2-0}\times\dfrac{T}{\pi}U_{max}=\dfrac{2}{T}\times\dfrac{T}{\pi}U_{max}=\)\(\dfrac2\pi U_{max}\), comme annoncé.
3. \(U_{moy}=\dfrac2\pi\times20\approx\)12,7 V. C'est ce que mesurerait un voltmètre en position DC branché sur la sortie d'un redresseur simple alternance.
La valeur efficace de \(f\) sur \([a\,;b]\) est \(\displaystyle f_{eff}=\sqrt{\dfrac{1}{b-a}\int_a^bf(t)^2\,dt}\) (RMS, root mean square). Contrairement à la valeur moyenne, la valeur efficace d'un signal alternatif pur n'est jamais nulle : c'est elle qui détermine l'échauffement produit par un courant dans une résistance, quelle que soit la forme du signal.
Pour intégrer \(\cos^2(\omega t)\) ou \(\sin^2(\omega t)\), on linéarise d'abord avec \(\cos^2(\omega t)=\dfrac{1+\cos(2\omega t)}{2}\) : une somme d'une constante et d'un cosinus, dont les primitives se lisent directement dans les tableaux précédents.
On considère \(i(t)=I_{max}\cos(\omega t)\), de période \(T=2\pi/\omega\).
1. Écrire \(i(t)^2\) sous forme linéarisée.
2. Calculer \(\displaystyle\int_0^Ti(t)^2\,dt\) (l'intégrale du terme en \(\cos(2\omega t)\) sur une période entière est nulle).
3. En déduire \(I_{eff}=I_{max}/\sqrt2\).
Voir la correction
1. \(i(t)^2=I_{max}^2\cos^2(\omega t)=I_{max}^2\times\dfrac{1+\cos(2\omega t)}{2}=\)\(\dfrac{I_{max}^2}{2}+\dfrac{I_{max}^2}{2}\cos(2\omega t)\).
2. La partie constante \(\dfrac{I_{max}^2}{2}\) intégrée sur \([0\,;T]\) donne \(\dfrac{I_{max}^2}{2}\times T\). La partie en \(\cos(2\omega t)\) s'intègre à 0 sur une période entière (autant d'aire positive que négative, la courbe fait deux tours complets). Donc \(\displaystyle\int_0^Ti(t)^2\,dt=\dfrac{I_{max}^2}{2}T\).
3. \(\displaystyle I_{eff}=\sqrt{\dfrac1T\times\dfrac{I_{max}^2}{2}T}=\sqrt{\dfrac{I_{max}^2}{2}}=\dfrac{I_{max}}{\sqrt2}\). \(I_{eff}=I_{max}/\sqrt2\), comme annoncé. C'est ce résultat qui relie la valeur affichée par un multimètre en mode AC à l'amplitude réelle du signal.
Quand \(f\) est périodique de période \(T\), sa valeur moyenne et sa valeur efficace se calculent en intégrant sur une seule période — \((0\,;T)\) ou tout autre intervalle de largeur \(T\), le résultat est le même par répétition du motif.
6. Intégration par parties
Soit \(u,v\) dérivables sur \([a\,;b]\), \(u',v'\) elles-mêmes dérivables sur \([a\,;b]\). Alors \(\displaystyle\int_a^bu(t)v'(t)\,dt=\big[u(t)v(t)\big]_a^b-\int_a^bu'(t)v(t)\,dt\).
Démonstration. \((uv)'=u'v+uv'\), donc \(uv'=(uv)'-u'v\) : deux fonctions égales ont des intégrales égales, d'où le résultat en intégrant chaque membre.
Exemple guidé. Calculer \(\displaystyle I=\int_0^1te^t\,dt\). On pose \(u'(t)=e^t\), \(u(t)=e^t\), \(v(t)=t\), \(v'(t)=1\). D'où \(\displaystyle I=\big[te^t\big]_0^1-\int_0^11\times e^t\,dt=e-\big[e^t\big]_0^1=e-(e-1)=1\).
Calculer \(\displaystyle I=\int_0^1te^t\,dt\) en posant \(u'(t)=e^t\) et \(v(t)=t\) (comme dans l'exemple ci-dessus).
Voir la correction
Avec \(u(t)=e^t\), \(v(t)=t\), \(v'(t)=1\) : \(\displaystyle I=\big[te^t\big]_0^1-\int_0^1e^t\,dt=(1\times e-0)-\big[e^t\big]_0^1=e-(e-1)=\)1 (calcul entièrement détaillé dans l'exemple guidé du cours ci-dessus).
Déterminer la primitive de \(\ln(t)\) qui s'annule en 1, soit \(\displaystyle F(x)=\int_1^x\ln(t)\,dt\), en posant \(u'(t)=1\) et \(v(t)=\ln(t)\).
Voir la correction
Avec \(u'(t)=1\), \(u(t)=t\), \(v(t)=\ln(t)\), \(v'(t)=1/t\) : \(\displaystyle F(x)=\big[t\ln(t)\big]_1^x-\int_1^xt\times\dfrac1t\,dt=x\ln(x)-1\times\ln(1)-\int_1^x1\,dt=x\ln(x)-\big[t\big]_1^x\). Comme \(\ln(1)=0\) : \(F(x)=x\ln(x)-(x-1)\). \(F(x)=x\ln(x)-x+1\).
Lors du démarrage d'un moteur, la puissance instantanée absorbée s'écrit, pour \(t\geqslant0\) : \(p(t)=P_0\cdot t\cdot e^{-t/\tau}\), avec \(P_0=400\) W et \(\tau=0{,}5\) s. L'énergie consommée entre 0 et \(T\) est \(\displaystyle W=\int_0^Tp(t)\,dt\).
1. Calculer \(\displaystyle\int_0^Tt\cdot e^{-t/\tau}\,dt\) par intégration par parties (une primitive de \(e^{-t/\tau}\) est \(-\tau\cdot e^{-t/\tau}\)).
2. En déduire \(W(T)\).
3. Calculer \(W(2)\) en joules.
Voir la correction
1. On pose \(u'(t)=e^{-t/\tau}\), \(u(t)=-\tau e^{-t/\tau}\), \(v(t)=t\), \(v'(t)=1\). Donc \(\displaystyle\int_0^Tte^{-t/\tau}\,dt=\big[-\tau te^{-t/\tau}\big]_0^T-\int_0^T\big(-\tau e^{-t/\tau}\big)\,dt=-\tau Te^{-T/\tau}+\tau\int_0^Te^{-t/\tau}\,dt\). Or \(\displaystyle\int_0^Te^{-t/\tau}\,dt=\big[-\tau e^{-t/\tau}\big]_0^T=\tau\big(1-e^{-T/\tau}\big)\). D'où \(\displaystyle\int_0^Tte^{-t/\tau}\,dt=-\tau Te^{-T/\tau}+\tau^2\big(1-e^{-T/\tau}\big)\).
2. \(\displaystyle W(T)=P_0\int_0^Tte^{-t/\tau}\,dt=P_0\Big[\tau^2\big(1-e^{-T/\tau}\big)-\tau Te^{-T/\tau}\Big]\). \(W(T)=P_0\tau^2\big(1-e^{-T/\tau}\big)-P_0\tau Te^{-T/\tau}\).
3. Avec \(P_0=400\), \(\tau=0{,}5\), \(T=2\) : \(\tau^2=0{,}25\), \(T/\tau=4\), \(e^{-4}\approx0{,}0183\). \(W(2)=400\times0{,}25\times(1-0{,}0183)-400\times0{,}5\times2\times0{,}0183\approx98{,}17-7{,}33\approx\)90,84 J.
Application finale — Synthèse CIRA
Un condensateur se décharge dans une résistance \(R\). Le courant qui circule s'écrit, pour \(t\geqslant0\) : \(i(t)=I_0e^{-t/\tau}\), avec \(I_0=2\) A, \(\tau=1{,}5\) s et \(R=10\) Ω.
1. Déterminer une primitive de \(i\), puis calculer \(\displaystyle q(T)=\int_0^Ti(t)\,dt\). Calculer \(q(4)\) en coulombs.
2. L'énergie dissipée par effet Joule entre 0 et \(T\) est \(\displaystyle W(T)=R\int_0^Ti(t)^2\,dt\). Calculer \(W(T)\) en fonction de \(T\).
3. Calculer \(W(4)\) en joules. Comparer à \(W(T)\) quand \(T\to+\infty\).
4. Calculer la valeur efficace du courant \(I_{eff}\) sur \([0\,;4]\).
Voir la correction
1. Une primitive de \(i(t)=I_0e^{-t/\tau}\) est \(-I_0\tau\,e^{-t/\tau}\) (forme \(u'e^u\) avec \(u(t)=-t/\tau\), \(u'(t)=-1/\tau\)). Donc \(\displaystyle q(T)=\big[-I_0\tau e^{-t/\tau}\big]_0^T=I_0\tau\big(1-e^{-T/\tau}\big)\). Avec \(I_0=2\), \(\tau=1{,}5\) : \(I_0\tau=3\), et \(T/\tau=4/1{,}5\approx2{,}667\), donc \(e^{-2{,}667}\approx0{,}0698\). \(q(4)=3\times(1-0{,}0698)\approx3\times0{,}9302\approx\)2,79 C.
2. \(i(t)^2=I_0^2e^{-2t/\tau}\), une fonction de la forme \(u'u^n\)... plus directement, une primitive de \(e^{-2t/\tau}\) est \(-\tfrac{\tau}{2}e^{-2t/\tau}\). Donc \(\displaystyle\int_0^Ti(t)^2\,dt=I_0^2\Big[-\dfrac{\tau}{2}e^{-2t/\tau}\Big]_0^T=\dfrac{I_0^2\tau}{2}\big(1-e^{-2T/\tau}\big)\), et \(\displaystyle W(T)=\dfrac{RI_0^2\tau}{2}\big(1-e^{-2T/\tau}\big)\).
3. \(\dfrac{RI_0^2\tau}{2}=\dfrac{10\times4\times1{,}5}{2}=30\). Avec \(T=4\) : \(2T/\tau=8/1{,}5\approx5{,}333\), \(e^{-5{,}333}\approx0{,}00483\). \(W(4)=30\times(1-0{,}00483)\approx\)29,86 J. Quand \(T\to+\infty\), \(e^{-2T/\tau}\to0\), donc \(W(T)\to30\) J : c'est l'énergie totale que peut encore dissiper le condensateur en se déchargeant complètement — \(W(4)\) en représente déjà plus de 99 %, le régime transitoire est presque achevé après \(4\,\)s (soit un peu moins de 3 constantes de temps).
4. \(\displaystyle I_{eff}=\sqrt{\dfrac14\int_0^4i(t)^2\,dt}=\sqrt{\dfrac14\times\dfrac{W(4)}{R}}=\sqrt{\dfrac{29{,}86}{4\times10}}\approx\sqrt{0{,}7464}\approx\)0,86 A. Contrairement au signal périodique établi de la section 5, ce régime transitoire s'éteint : cette valeur efficace décrit seulement l'effet thermique moyen du courant sur la durée finie \([0\,;4]\) choisie, pas un régime permanent — la notion garde un sens pratique (dimensionner un fusible, par exemple), mais pas l'interprétation « signal alternatif établi » de la section 5.