Chapitre 10 — Suites numériques
Corrections détaillées et repliables pour chaque exercice du chapitre. Cliquer sur « Voir la correction » pour dérouler le corrigé. La mention à côté du titre (Socle, Consolidation, Approfondissement, Défi CIRA) indique le niveau de difficulté, du plus accessible au plus exigeant.
1. Suites numériques : définition et génération
Une suite numérique \((u_n)\) est une liste de nombres réels indexée par les entiers naturels : à chaque entier \(n\), elle associe un nombre \(u_n\), le terme de rang n. Sa représentation graphique est l'ensemble des points \((n\,;\,u_n)\) — un nuage de points isolés, jamais une courbe continue.
Deux façons courantes de générer une suite : par une formule explicite (\(u_n\) directement en fonction de \(n\)), ou par une relation de récurrence (premier terme + formule donnant chaque terme à partir du précédent).
\((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1}\geqslant u_n\) pour tout \(n\), décroissante si \(u_{n+1}\leqslant u_n\), constante si \(u_{n+1}=u_n\). Conformément au programme, on se limite à une approche graphique : on lit le sens de variation sur un tableau ou un graphique, sans le démontrer dans le cas général.
Suite \(u_n=\dfrac{2n+3}{n+1}\) : \(u_0=3\) ; \(u_1=2{,}5\) ; \(u_2\approx2{,}33\) ; \(u_3=2{,}25\) ; \(u_4=2{,}2\). La suite semble décroissante et se rapprocher de 2 (\(u_{50}\approx2{,}02\)).
Un algorithme de régulation recalcule, à chaque cycle, le niveau prévu de consigne \(u_n\) (cm) : \(u_0=0{,}2\), puis pour tout \(n\), \(u_{n+1}=\sqrt{5u_n+2}\).
Le graphique, obtenu en calculant une dizaine de termes au tableur, montre que \((u_n)\) semble se stabiliser autour de \(L\approx5{,}37\) cm.
Le programme officiel est explicite : « aucune difficulté théorique ne doit être soulevée » à propos des suites. La stabilisation ci-dessus se constate sur un tableau ou un graphique — elle ne se démontre pas ici. Même principe en section 4 pour la notion de limite.
Une sonde de température, échantillonnée toutes les minutes lors du refroidissement d'une pièce mécanique venant de sortir d'un four, fournit \(u_n=20+\dfrac{30}{n+1}\) (température en °C à la n-ième minute).
1. Calculer \(u_0, u_1, u_2, u_3\) et \(u_4\).
2. La suite semble-t-elle croissante ou décroissante ? Vers quelle valeur semble-t-elle se stabiliser (calculer \(u_{20}\) et \(u_{50}\) pour s'en convaincre) ?
3. Interpréter physiquement cette valeur de stabilisation.
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1. \(u_0=20+30=\)50 °C ; \(u_1=20+15=\)35 °C ; \(u_2=20+10=\)30 °C ; \(u_3=20+7{,}5=\)27,5 °C ; \(u_4=20+6=\)26 °C.
2. La suite est décroissante : \(u_{20}=20+\tfrac{30}{21}\approx21{,}4\) °C, \(u_{50}=20+\tfrac{30}{51}\approx20{,}6\) °C. Elle semble se stabiliser vers 20 °C.
3. 20 °C correspond à la température ambiante : la pièce, en se refroidissant, tend vers la température de la salle et ne peut pas descendre en dessous.
Un correcteur numérique recalcule, à chaque cycle, la commande \(u_n\) à appliquer à un actionneur : \(u_0=0\), puis pour tout \(n\), \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3\).
1. Calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\) et \(u_5\).
2. Vers quelle valeur L la suite semble-t-elle se stabiliser ?
3. Vérifier par le calcul que L vérifie \(L=0{,}5L+3\).
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1. \(u_1=3\) ; \(u_2=0{,}5\times3+3=4{,}5\) ; \(u_3=0{,}5\times4{,}5+3=5{,}25\) ; \(u_4=0{,}5\times5{,}25+3=5{,}625\) ; \(u_5=0{,}5\times5{,}625+3=\)5,8125.
2. La suite semble se stabiliser vers L = 6.
3. \(0{,}5\times6+3=3+3=6=L\) : l'équation est bien vérifiée.
2. Suites arithmétiques
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(a\) si \(u_{n+1}=u_n+a\) pour tout \(n\) : on ajoute toujours la même quantité. Terme général : \(u_n=u_0+n\times a\). Sens de variation : croissante si \(a>0\), décroissante si \(a<0\), constante si \(a=0\). Somme de \(n\) termes consécutifs : \(S=(\text{nombre de termes})\times\dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}\) (formule donnée si nécessaire).
Une pompe ajoute 15 mL par cycle dans une cuve qui contient déjà 50 mL : \(u_0=50\), \(u_{n+1}=u_n+15\), suite arithmétique de raison \(a=15\), donc \(u_n=50+15n\). Après 10 cycles : \(u_{10}=50+150=200\) mL.
On reprend la pompe de l'exemple guidé : \(u_0=50\) mL, raison \(a=15\) mL/cycle.
1. Justifier que \((u_n)\) est arithmétique et donner sa raison.
2. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\), calculer \(u_{20}\).
3. La cuve a une capacité de 500 mL. Au bout de combien de cycles ce volume est-il atteint ou dépassé (résoudre \(50+15n\geqslant500\)) ?
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1. Chaque cycle ajoute toujours 15 mL : suite arithmétique de raison a = 15.
2. \(u_n=50+15n\). \(u_{20}=50+300=\)350 mL.
3. \(50+15n\geqslant500 \Leftrightarrow 15n\geqslant450 \Leftrightarrow n\geqslant30\) : au bout de 30 cycles (500 mL exactement).
Une autre pompe injecte un volume croissant de façon arithmétique : 20 mL au premier cycle, puis 5 mL de plus à chaque cycle suivant (\(a=5\)). On note \(v_n\) le volume (mL) injecté au n-ième cycle, \(n\geqslant1\).
1. Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\), calculer \(v_{10}\).
2. À l'aide de la formule de la somme, calculer le volume total injecté sur les 10 premiers cycles.
3. La cuve de récupération a une capacité de 400 mL. Sera-t-elle suffisante ?
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1. \(v_n=20+5(n-1)=15+5n\). \(v_{10}=15+50=\)65 mL.
2. \(S_{10}=10\times\dfrac{v_1+v_{10}}{2}=10\times\dfrac{20+65}{2}=10\times42{,}5=\)425 mL.
3. \(425>400\) : non, la cuve débordera d'environ 25 mL avant la fin du 10e cycle.
3. Suites géométriques
\((u_n)\), à termes non nuls, est géométrique de raison \(b\neq0\) si \(u_{n+1}=b\times u_n\) pour tout \(n\) : on multiplie toujours par la même quantité. Terme général : \(u_n=u_0\times b^n\). Si \(u_0>0\) : croissante pour \(b>1\), décroissante pour \(0 < b < 1\), constante pour \(b=1\). Somme : \(S=u_0\times\dfrac{1-b^{\text{nombre de termes}}}{1-b}\) (formule donnée si nécessaire).
Au chapitre 8, la charge d'un condensateur suivait \(y(t)=1-e^{-t/\tau}\), \(\tau=5\) s. Échantillonnée toutes les \(Te=1\) s, on pose \(e_n=1-y(n\times Te)\), l'écart relatif à la valeur finale au n-ième échantillon.
On a \(e_n=e^{-nTe/\tau}=\left(e^{-Te/\tau}\right)^n\) — suite géométrique de raison \(b=e^{-Te/\tau}=e^{-1/5}\approx0{,}819\), de premier terme \(e_0=1\).
On reprend l'échantillonnage de l'exemple guidé : \(e_n=e^{-n/5}\), raison \(b\approx0{,}819\).
1. Calculer \(e_5\) à \(10^{-3}\) près (\(e^{-1}\approx0{,}368\)).
2. En déduire le pourcentage de la valeur finale atteint après 5 échantillons (5 s). Retrouve-t-on la « règle des 63 % » du chapitre 9 ?
3. Que représente, en secondes, le nombre \(5\times Te\) dans ce contexte ?
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1. \(e_5=e^{-1}\approx\)0,368.
2. \(1-e_5\approx1-0{,}368=0{,}632\) : 63,2 % de la valeur finale — on retrouve bien la règle des 63 % du chapitre 9.
3. \(5\times Te=5\times1=5\) s \(=\tau\) : ce n'est pas une coïncidence indépendante de la « règle des 5τ » vue plus loin, c'est simplement que le 5e échantillon tombe exactement à l'instant \(t=\tau\), où le modèle donne par construction 63,2 % de la valeur finale.
Après une action corrective, le nombre de pièces rebutées décroît de 20 % à chaque lot contrôlé. Le premier lot analysé après l'action comptait \(u_1=250\) pièces rebutées.
1. Justifier que \((u_n)\), pour \(n\geqslant1\), est géométrique et donner sa raison \(b\).
2. Calculer \(u_2, u_3, u_4\), puis exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
3. À l'aide de la formule de la somme, calculer (à la pièce près) le nombre total de pièces rebutées sur les 6 premiers lots.
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1. Une baisse de 20 % revient à multiplier par \(1-0{,}20=0{,}8\) à chaque lot : suite géométrique de raison b = 0,8.
2. \(u_2=250\times0{,}8=200\) ; \(u_3=200\times0{,}8=160\) ; \(u_4=160\times0{,}8=128\). \(u_n=250\times0{,}8^{\,n-1}\).
3. \(S_6=250\times\dfrac{1-0{,}8^6}{1-0{,}8}=250\times\dfrac{1-0{,}262144}{0{,}2}=250\times3{,}68928\approx\)922 pièces.
4. Limite d'une suite géométrique (approche expérimentale)
Pour une suite géométrique, le programme demande de savoir utiliser un tableur ou un algorithme pour déterminer, lorsque c'est possible, un rang \(n_0\) à partir duquel \(u_n\geqslant a\) (cas \(b>1\)) ou \(u_n\leqslant10^{-p}\) (cas \(0 < b < 1\)). On approche ainsi expérimentalement la notion de limite — on ne la démontre jamais dans ce cours, seulement on la constate.
On reprend \(e_n=e^{-n/5}\) (charge de constante de temps \(\tau=5\) s, échantillonnée toutes les \(Te=1\) s). On cherche \(n_0\) tel que \(e_n\leqslant0{,}01\) (écart inférieur à 1 %).
| n | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(e_n\) | 0,0183 | 0,0150 | 0,0123 | 0,0101 | 0,0082 |
\(e_{23}>0{,}01\) mais \(e_{24}\leqslant0{,}01\) : seuil franchi au rang \(n_0=24\), soit 24 s. On retrouve, à un cycle près, le critère des « 5τ » (\(5\times5=25\) s) déjà utilisé au chapitre 8 — 5τ est en réalité une valeur arrondie, un peu supérieure au seuil exact de 1 %.
Un capteur a pour constante de temps \(\tau=4\) s, échantillonné toutes les \(Te=0{,}5\) s. On pose \(e_n=e^{-nTe/\tau}\), raison \(b=e^{-1/8}\approx0{,}8825\). Un tableur donne :
| n | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(e_n\) | 0,01426 | 0,01259 | 0,01111 | 0,00980 | 0,00865 |
1. Déterminer \(n_0\) à partir duquel \(e_n\leqslant0{,}01\).
2. En déduire la durée \(t=n_0\times Te\) nécessaire.
3. Comparer à \(5\tau=20\) s. Le critère des 5τ est-il, ici encore, une bonne approximation ?
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1. \(e_{36}=0{,}01111>0{,}01\) mais \(e_{37}=0{,}00980\leqslant0{,}01\) : \(n_0=37\).
2. \(t=37\times0{,}5=\)18,5 s.
3. \(5\tau=20\) s, contre 18,5 s exactement : le critère des 5τ reste une bonne approximation, légèrement majorante (écart d'environ 8 %).
Une station de traitement réduit de 15 % la concentration en polluant à chaque cycle de filtration. Concentration initiale \(c_0=80\) mg/L ; la norme impose \(c_n\leqslant5\) mg/L en sortie.
1. Justifier que \((c_n)\) est géométrique, donner sa raison \(b\), et calculer \(c_1, c_2\) et \(c_3\) (arrondies au dixième).
2. Un tableur donne : \(c_{14}\approx8{,}22\) ; \(c_{15}\approx6{,}99\) ; \(c_{16}\approx5{,}94\) ; \(c_{17}\approx5{,}05\) ; \(c_{18}\approx4{,}29\) mg/L. Déterminer le nombre minimal de cycles nécessaires pour respecter la norme.
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1. Une réduction de 15 % revient à multiplier par \(0{,}85\) à chaque cycle : suite géométrique de raison b = 0,85. \(c_1=80\times0{,}85=68\) ; \(c_2=68\times0{,}85=57{,}8\) ; \(c_3=57{,}8\times0{,}85\approx\)49,1 mg/L.
2. \(c_{17}\approx5{,}05>5\) mais \(c_{18}\approx4{,}29\leqslant5\) : 18 cycles de filtration minimum.
Application finale — Synthèse CIRA
Au chapitre 8, la charge d'un système du premier ordre obéissait à \(y'=\dfrac{1-y}{\tau}\), \(y(0)=0\), de solution exacte \(y(t)=1-e^{-t/\tau}\). Un automate ne « résout » jamais une équation différentielle : il en calcule une valeur approchée, pas à pas, à intervalles réguliers \(Te\), par la méthode d'Euler :
\[y_{n+1}=y_n+Te\times\dfrac{1-y_n}{\tau}\]On prend \(\tau=5\) s, \(Te=1\) s, \(y_0=0\).
1. Calculer \(y_1, y_2\) et \(y_3\).
2. La solution exacte donne \(y(1)\approx0{,}181\), \(y(2)\approx0{,}330\), \(y(3)\approx0{,}451\) (à \(10^{-3}\) près). Comparer avec \(y_1, y_2, y_3\). La méthode d'Euler surestime-t-elle ou sous-estime-t-elle ici la valeur exacte ?
3. Quel effet aurait une diminution de \(Te\) (par exemple \(Te=0{,}1\) s) sur la qualité de l'approximation ? (aucun calcul demandé, seulement un raisonnement).
4. Conclure, en une phrase, sur le lien entre suites numériques, équations différentielles et simulation numérique en Automatique.
Voir la correction
1. \(y_1=0+1\times\tfrac{1-0}{5}=0{,}2\) ; \(y_2=0{,}2+\tfrac{0{,}8}{5}=0{,}36\) ; \(y_3=0{,}36+\tfrac{0{,}64}{5}=\)0,488.
2. \(y_1=0{,}2>0{,}181\) ; \(y_2=0{,}36>0{,}330\) ; \(y_3=0{,}488>0{,}451\) : la méthode d'Euler surestime ici systématiquement la valeur exacte (chaque pas utilise la pente au début de l'intervalle, plus forte que la pente moyenne réelle sur une courbe qui ralentit).
3. Avec un pas \(Te\) plus petit, la suite recalcule la pente plus souvent et s'écarte moins de la courbe continue entre deux recalculs : l'approximation d'Euler se rapproche de la solution exacte lorsque \(Te\) diminue.
4. Une équation différentielle décrit un phénomène continu, mais un système numérique (automate, microcontrôleur) ne peut la simuler qu'en la remplaçant par une suite récurrente calculée pas à pas — les suites numériques sont l'outil qui relie le monde continu des équations différentielles au monde discret du calcul numérique.