Chapitre 11 — Nombres complexes
Corrections détaillées et repliables pour chaque exercice du chapitre. Cliquer sur « Voir la correction » pour dérouler le corrigé. La mention à côté du titre (Socle, Consolidation, Approfondissement, Défi CIRA) indique le niveau de difficulté, du plus accessible au plus exigeant.
1. Nombres complexes : forme algébrique et représentation géométrique
On admet l'existence d'un ensemble de nombres, noté \(\mathbb{C}\), contenant \(\mathbb{R}\) et un nombre noté \(j\) (et non \(i\) : en électronique et en Automatique, la lettre i est déjà réservée à l'intensité électrique — le programme officiel de BTS le signale explicitement) tel que \(j^2=-1\). Tout élément \(z\) de \(\mathbb{C}\) s'écrit de façon unique sous forme algébrique \(z=a+jb\), où \(a=\mathrm{Re}(z)\) est la partie réelle et \(b=\mathrm{Im}(z)\) la partie imaginaire (un réel — pas \(jb\)). Si \(a=0\) (et \(b\neq0\)), \(z\) est dit imaginaire pur.
Avec \(z=a+jb\) et \(z'=a'+jb'\), on calcule comme avec les réels en remplaçant \(j^2\) par \(-1\) : somme \(z+z'=(a+a')+j(b+b')\) ; produit \(z\times z'=(aa'-bb')+j(ab'+a'b)\) ; conjugué \(\mathrm{conj}(z)=a-jb\) (traditionnellement noté aussi \(\overline{z}\)) ; quotient en multipliant numérateur et dénominateur par \(\mathrm{conj}(z')\), ce qui rend le dénominateur réel car \(z'\times\mathrm{conj}(z')=a'^2+b'^2\).
Avec \(z_1=2+3j\) et \(z_2=1+j\) : somme \(z_1+z_2=3+4j\) ; produit \(z_1\times z_2=(2+3j)(1+j)=2+5j-3=-1+5j\) ; conjugué \(\mathrm{conj}(z_1)=2-3j\) ; quotient \(\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac{(2+3j)(1-j)}{(1+j)(1-j)}=\dfrac{5+j}{2}=2{,}5+0{,}5j\).
On donne \(z_1=4-j\) et \(z_2=-2+3j\). Calculer, sous forme algébrique :
1. \(z_1+z_2\) et \(z_1-z_2\).
2. \(z_1\times z_2\).
3. \(\mathrm{conj}(z_2)\), le conjugué de \(z_2\).
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1. \(z_1+z_2=(4-2)+j(-1+3)=\)2 + 2j ; \(z_1-z_2=(4+2)+j(-1-3)=\)6 − 4j.
2. \(z_1\times z_2=(4-j)(-2+3j)=-8+12j+2j-3j^2=-8+14j+3=\)−5 + 14j.
3. \(\mathrm{conj}(z_2)=\)−2 − 3j (on change le signe de la partie imaginaire).
Pour \(az^2+bz+c=0\) (a, b, c réels, \(a\neq0\)), on calcule \(\Delta=b^2-4ac\) comme au lycée. Si \(\Delta \geqslant 0\), solutions réelles usuelles. Si \(\Delta < 0\), l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : \(z=\dfrac{-b\pm j\sqrt{-\Delta}}{2a}\).
Résolvons \(z^2-4z+13=0\) (a = 1, b = −4, c = 13). \(\Delta=(-4)^2-4\times1\times13=16-52=-36 < 0\) : deux solutions complexes conjuguées. Comme \(-\Delta=36\) et \(\sqrt{36}=6\) : \(z=\dfrac{4\pm j6}{2}=2\pm3j\). Les deux solutions, \(2+3j\) et \(2-3j\), sont conjuguées l'une de l'autre : elles se représentent par deux points symétriques par rapport à l'axe des réels.
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^2+2z+10=0\) (on calculera d'abord \(\Delta\)).
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\(\Delta=2^2-4\times1\times10=4-40=-36 < 0\) : deux solutions complexes conjuguées.
\(-\Delta=36\), \(\sqrt{36}=6\), donc \(z=\dfrac{-2\pm j6}{2}=\)−1 ± 3j.
Au chapitre 8, un système de régulation vérifiant une équation \(ay''+by'+cy=d(t)\) admettait, lorsque le discriminant de son équation caractéristique était négatif, un régime oscillant amorti — un fait admis à l'époque, faute de savoir résoudre une équation à discriminant négatif. On peut maintenant le vérifier, avec l'équation caractéristique \(r^2+4r+13=0\).
1. Calculer \(\Delta\), puis résoudre dans \(\mathbb{C}\).
2. Les solutions s'écrivent \(\alpha\pm j\omega\) : identifier \(\alpha\) (amortissement) et \(\omega\) (pseudo-pulsation, rad/s).
3. Pourquoi un \(\alpha\) négatif correspond-il à un régime qui s'amortit ?
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1. \(\Delta=4^2-4\times1\times13=16-52=-36\). \(-\Delta=36\), \(\sqrt{36}=6\) : \(r=\dfrac{-4\pm j6}{2}=\)−2 ± 3j.
2. \(\alpha=\)−2 (taux d'amortissement) et \(\omega=\)3 rad/s (pseudo-pulsation).
3. La solution générale d'une telle équation contient un facteur \(e^{\alpha t}\) : avec \(\alpha < 0\), ce facteur tend vers 0 quand \(t\) augmente, ce qui amortit progressivement les oscillations. Un \(\alpha>0\) ferait au contraire croître l'amplitude indéfiniment (système instable).
Dans le plan complexe (axe des réels horizontal, axe des imaginaires vertical), tout nombre \(z=a+jb\) est associé à un unique point \(M(a\,;\,b)\), son image ; \(z\) est l'affixe de \(M\) (ou du vecteur \(\overrightarrow{OM}\)). Le point d'affixe \(\mathrm{conj}(z)\) est le symétrique du point d'affixe \(z\) par rapport à l'axe des réels.
En électricité, l'impédance complexe d'une bobine associée à une résistance s'écrit \(Z=R+jL\omega\). Pour \(R=50\,\Omega\), \(L=0{,}2\) H et \(\omega=100\) rad/s : \(L\omega=20\,\Omega\), donc \(Z=50+j20\) — représenté par le point (50 ; 20) dans le plan complexe.
L'ensemble des points \(M(z)\) tels que \(\mathrm{Re}(z)=3\) est la droite verticale \(x=3\) ; l'ensemble des points tels que \(\mathrm{Im}(z)=-2\) est la droite horizontale \(y=-2\).
2. Forme trigonométrique et forme exponentielle
Pour \(z=a+jb\) non nul d'image \(M\) : le module \(|z|\) (souvent noté \(r\)) est la longueur \(OM\) ; l'argument \(\arg(z)\) est une mesure en radians de l'angle (axe des réels ; \(OM\)), défini à \(2\pi\) près. Avec \(\theta=\arg(z)\) : forme trigonométrique \(z=r(\cos\theta+j\sin\theta)\) ; forme exponentielle \(z=re^{j\theta}\) (notation d'Euler, admise).
Reprenons \(z=4+3j\). Son module est \(r=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\).
Son argument vérifie \(\cos\theta=4/5\), \(\sin\theta=3/5\), soit \(\theta\approx36{,}9°\) (\(\approx0{,}644\) rad) à la calculatrice. D'où la forme exponentielle \(z=5e^{j\theta}\) avec \(\theta\approx36{,}9°\).
Convertissons \(z=2e^{j\pi/3}\). Comme \(\cos(\pi/3)=1/2\) et \(\sin(\pi/3)=\dfrac{\sqrt3}{2}\) : \(z=2\times\dfrac12+j\times2\times\dfrac{\sqrt3}{2}=1+j\sqrt3\).
Pour chacun, calculer le module \(r\) et un argument \(\theta\) (en degrés), puis donner la forme exponentielle :
1. \(z=1+j\sqrt3\) ;
2. \(z=-3\) ;
3. \(z=2j\).
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1. \(r=\sqrt{1+3}=2\) ; \(\cos\theta=1/2\), \(\sin\theta=\sqrt3/2\) donc \(\theta=\)60° (π/3) : \(z=2e^{j\pi/3}\).
2. \(z=-3\) est réel négatif : \(r=3\), \(\theta=\)180° (π) : \(z=3e^{j\pi}\).
3. \(z=2j\) est imaginaire pur positif : \(r=2\), \(\theta=\)90° (π/2) : \(z=2e^{j\pi/2}\).
Pour \(z\) et \(z'\) non nuls : \(|z\times z'|=|z|\times|z'|\) et \(\arg(z\times z')=\arg(z)+\arg(z')\) (à \(2\pi\) près). De même \(|z/z'|=|z|/|z'|\) et \(\arg(z/z')=\arg(z)-\arg(z')\) : c'est ce qui rend la forme exponentielle si pratique pour multiplier ou diviser.
On donne \(z_1=3e^{j\pi/3}\) et \(z_2=2e^{j\pi/6}\).
1. Module et argument de \(z_1\times z_2\), puis forme exponentielle.
2. Module et argument de \(z_1/z_2\), puis forme exponentielle.
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1. Module \(3\times2=6\) ; argument \(\pi/3+\pi/6=\)π/2 : \(z_1\times z_2=\)\(6e^{j\pi/2}\).
2. Module \(3/2=1{,}5\) ; argument \(\pi/3-\pi/6=\)π/6 : \(z_1/z_2=\)\(1{,}5e^{j\pi/6}\).
En Automatique, une fonction de transfert complexe \(H(j\omega)\) décrit le comportement d'un système en régime sinusoïdal. En notant \(r(\omega)=|H(j\omega)|\) : gain \(G(\omega)=20\log_{10}(r(\omega))\) (dB), déphasage \(\varphi(\omega)=\arg(H(j\omega))\). On considère \(H(j\omega)=\dfrac{10}{2+j\omega}\) à \(\omega=2\) rad/s.
1. Écrire \(2+j2\) sous forme exponentielle.
2. En déduire \(r(2)\) et \(\varphi(2)\).
3. Calculer \(G(2)\) en dB, arrondi au dixième.
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1. \(|2+j2|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt2\), \(\arg(2+j2)=45°\) (car partie réelle = partie imaginaire = 2) : \(2+j2=\)\(2\sqrt2\,e^{j\pi/4}\).
2. \(r(2)=\dfrac{10}{2\sqrt2}=\dfrac{5}{\sqrt2}\approx\)3,54 ; \(\varphi(2)=\arg(10)-\arg(2+j2)=0-45°=\)−45° (−π/4 rad).
3. \(G(2)=20\log_{10}(3{,}54)\approx\)11,0 dB (plus précisément 10,97 dB).
3. Transformations géométriques d'écritures complexes
Toujours associées à l'image d'un point ou d'une droite (logiciel de géométrie dynamique, aucune démonstration exigée) : \(z\mapsto z+b\) (translation de vecteur d'affixe \(b\)) ; \(z\mapsto az\), \(a\) réel (homothétie de rapport \(a\)) ; \(z\mapsto1/z\) (inversion) ; \(z\mapsto\dfrac{az+b}{cz+d}\) (transformation homographique, cas particulier du précédent).
Soit \(A\) d'affixe \(3+2j\). Son image par \(z\mapsto2z-1\) : \(2(3+2j)-1=6+4j-1=5+4j\).
Soit \(B\) d'affixe \(1+j\). Son image par \(z\mapsto1/z\) : \(\dfrac{1}{1+j}=\dfrac{1-j}{2}=0{,}5-0{,}5j\).
Le graphique montre cinq points A, B, C, D, E de la droite \(\mathrm{Re}(z)=1\) — le point D, d'affixe \(1+j\), est le point B de cet exemple — et leurs images par \(z\mapsto1/z\). On constate, sans le démontrer, que les cinq images semblent alignées sur un même arc de cercle.
Le programme officiel signale explicitement l'usage de ces transformations pour les diagrammes de Nyquist ou de Bode. Pour \(H(j\omega)\), le lieu de Nyquist est l'ensemble des points d'affixe \(H(j\omega)\) quand \(\omega\) varie de 0 à \(+\infty\). On le construit point par point, jamais par démonstration théorique.
Calculer l'affixe de l'image de chaque point par la transformation indiquée :
1. \(M\) d'affixe \(2+j\), par \(z\mapsto z+(-3+2j)\) (translation).
2. \(N\) d'affixe \(4j\), par \(z\mapsto3z\) (homothétie).
3. \(P\) d'affixe \(2-j\), par \(z\mapsto1/z\) (inversion).
Voir la correction
1. \((2+j)+(-3+2j)=\)−1 + 3j.
2. \(3\times4j=\)12j.
3. \(\dfrac{1}{2-j}=\dfrac{2+j}{(2-j)(2+j)}=\dfrac{2+j}{5}=\)0,4 + 0,2j.
On considère \(H(j\omega)=\dfrac{1}{2+j\omega}\).
1. Calculer l'affixe de \(H(j\omega)\) pour \(\omega=0\), \(\omega=2\) rad/s et \(\omega=4\) rad/s.
2. Placer les trois points dans le plan complexe.
3. Quelle courbe semblent-ils esquisser ? (aucune démonstration demandée)
Voir la correction
1. \(\omega=0\) : \(H=\dfrac12=\)0,5. \(\omega=2\) : \(H=\dfrac{1}{2+j2}=\dfrac{2-j2}{8}=\)0,25 − 0,25j. \(\omega=4\) : \(H=\dfrac{1}{2+j4}=\dfrac{2-j4}{20}=\)0,1 − 0,2j.
2. Les trois points sont (0,5 ; 0), (0,25 ; −0,25) et (0,1 ; −0,2).
3. Ils semblent s'aligner sur un arc de cercle passant par (0,5 ; 0) et se rapprochant de l'origine — même type de courbe que pour l'exemple guidé de la section précédente.
Application finale — Synthèse CIRA
Depuis le chapitre 8, un même système du premier ordre — constante de temps \(\tau=5\) s — a traversé trois chapitres : l'équation différentielle \(y'=\dfrac{1-y}{\tau}\) (chapitre 8), le développement limité de \(y(t)=1-e^{-t/\tau}\) (chapitre 9), la suite géométrique de l'échantillonnage (chapitre 10). Les nombres complexes en donnent un quatrième aspect : sa réponse fréquentielle \(H(j\omega)=\dfrac{1}{1+5j\omega}\).
1. Calculer l'affixe de \(H(j\omega)\) sous forme algébrique pour \(\omega=0\), \(0{,}2\), \(0{,}4\) et \(1\) rad/s.
Le graphique, complété point par point, laisse deviner un demi-cercle — c'est effectivement le lieu de Nyquist de tout système du premier ordre, admis ici sans démonstration.
2. Vérifier que pour \(\omega=\omega_c=1/\tau=0{,}2\) rad/s, le module de \(H(j\omega)\) vaut \(1/\sqrt2\approx0{,}707\), soit un gain d'environ −3 dB.
3. Ce point porte un nom bien connu en Automatique : la pulsation de coupure. Quel lien avec \(\tau\), déjà rencontrée aux chapitres 8, 9 et 10 ?
4. Conclure sur ce que les nombres complexes apportent à l'étude des systèmes — et le lien avec les enseignements de seconde année (séries de Fourier, transformation de Laplace).
Voir la correction
1. \(\omega=0\) : \(H=\)1. \(\omega=0{,}2\) : \(H=\dfrac{1}{1+j}=\dfrac{1-j}{2}=\)0,5 − 0,5j. \(\omega=0{,}4\) : \(H=\dfrac{1}{1+j2}=\dfrac{1-j2}{5}=\)0,2 − 0,4j. \(\omega=1\) : \(H=\dfrac{1}{1+j5}=\dfrac{1-j5}{26}\approx\)0,038 − 0,192j.
2. Au point \(\omega_c=0{,}2\) : \(H=0{,}5-0{,}5j\), donc \(|H|=\sqrt{0{,}5^2+0{,}5^2}=\sqrt{0{,}5}=\dfrac{1}{\sqrt2}\approx\)0,707. Gain : \(20\log_{10}(0{,}707)\approx\)−3,0 dB.
3. La pulsation de coupure vaut exactement \(\omega_c=1/\tau\) : plus la constante de temps \(\tau\) est grande (système lent), plus la pulsation de coupure est basse — le système laisse passer moins de hautes fréquences. C'est le même \(\tau\) qui gouvernait le régime transitoire (chapitre 8), la tangente à l'origine (chapitre 9) et le seuil des 5τ (chapitre 10).
4. Les nombres complexes permettent de faire apparaître, à partir d'une même équation différentielle, une signature fréquentielle du système (gain, phase, lieu de Nyquist) — un point de vue complémentaire du point de vue temporel étudié aux chapitres précédents. Ce même outil (nombres complexes appliqués à des fonctions de transfert et des pulsations) sera repris et approfondi en seconde année avec les séries de Fourier et la transformation de Laplace.