Héron d’Alexandrie – Maths & Informatique

Héron d’Alexandrie est un ingénieur, un mécanicien et un mathématicien grec du premier siècle après J.-C.

On ne sait pas grand chose de la vie d’Héron, si ce n’est qu’il était originaire d’Alexandrie ; les historiens se sont même longtemps divisés sur l’époque où il a vécu. Leurs estimations allaient du 1^er siècle avant J.-C. au 3^ème siècle de notre ère. Aujourd’hui, la querelle est éteinte : il est clairement établi que Héron est postérieur à Vitruve mort en $- 20$ , et contemporain de Pline l’Ancien (23 – 79), en étant actif autour de l’an 62. Il a donc bien vécu au 1^er siècle après J.-C. et sans doute au début du 2^ème siècle, donc sous l’Empire romain, mais dans l’Alexandrie grecque.

On attribue à Héron d’Alexandrie plusieurs formules mathématiques et une méthode efficace d’extraction de racine carrée, c’est-à-dire de résolution de l’équation $x^{2} = a$ , avec $a$ positif :

Choisir une première valeur raisonnable que l’on note $G$ .
Améliorer cette valeur en calculant la moyenne des valeurs $G$ et $x / G$ .
Vérifier si cette nouvelle valeur convient.
Reprendre l’étape 2 tant que la valeur calculée n’est pas satisfaisante.

L’objectif de cette activité est de mettre en œuvre cette méthode en Python.

Travail à réaliser

Le fichier réponse devra se terminer par les instructions afin de pouvoir y placer les jeux de tests pour les différentes fonctions (on découvrira la signification de cette instruction dans quelques jours).

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if __name__ == "__main__":

Qu’appelle-t-on la documentation d’une fonction ? La spécification d’une fonction ?

Toute fonction doit être accompagnée de sa spécification !

Définir la fonction moyenne dont la spécification est

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def moyenne(a: float, b: float) -> float: 
    """ Calcule et retourne la moyenne des deux nombres a et b 
    passés en argument.
    """

Ajouter le jeu de test suivant à la fin du fichier :

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assert moyenne(12, 16) == 14
assert moyenne(0, 8) == 4

Réponse

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def moyenne(a: float, b: float) -> float:
    """
    Calcule et retourne la moyenne des deux nombres a et b
    passés en argument.
    """
    return (a + b) / 2

Définir la fonction valeur_absolue dont la spécification est :

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def valeur_absolue(x: float) -> float: 
    """ 
    Calcule et retourne la valeur absolue du nombre x passé en argument.
    """

Remarque.: Il est interdit d’utiliser la fonction abs intégrée à Python.

Ajouter le jeu de test suivant à la fin du fichier :

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assert valeur_absolue(3) == 3
assert valeur_absolue(0) == 0
assert valeur_absolue(-3) == 3

Réponse

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def valeur_absolue(x: float) -> float:
    """
    Calcule et retourne la valeur absolue du nombre x positif
    passé en argument.
    """
    if x >= 0 :
        return x
    else:
        return -x

Définir la fonction puissance dont la spécification est :

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def puissance(x: float, n: int) -> float: 
    """ calcule et retourne le résultat de x à la puissance entière n :
    x^n = x . x . x . … . x (n fois)
    """

Remarque.: Il est interdit d’utiliser l’opérateur ** intégré à Python ou la fonction pow du module math.

Ajouter le jeu de test suivant à la fin du fichier :

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assert puissance(2, 8) == 256
assert puissance(0, 2) == 0
assert puissance(3, 0) == 1

Réponse

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def puissance(x: float, n: int) -> float:
    """
    calcule et retourne le résultat de x à la puissance entière n :
    x^n = x . x . x . ... . x (n fois)
    """
    res = 1
    for i in range(1, n + 1):
        res *= x
    return res

Définir la fonction amelioration_essai dont la spécification est :

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def amelioration_essai(essai: float, x: float) -> float: 
    """ Calcule et retourne la moyenne des nombres essai (strictement positif) 
    et x/essai.
    """

Remarque.: Cette fonction doit utiliser la fonction moyenne définie plus haut.

Ajouter le jeu de test suivant à la fin du fichier :

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assert amelioration_essai(1, 2) == 1.5
assert amelioration_essai(2, 1) == 1.25

Réponse

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def amelioration_essai(essai: float, x: float) -> float:
    """
    Calcule et retourne la moyenne des nombres essai (strictement positif) et x/essai.
    """
    return moyenne(essai, x/essai)

Définir le prédicat est_suffisamment_bon dont la spécification est :

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def est_suffisamment_bon(essai: float, x: float) -> bool: 
    """ 
    Retourne True si la valeur absolue de la différence du carré du nombre essai 
    et du nombre x est inférieure à une tolérance donnée (prendre 0.001).
    Retourne False sinon.
    """

Remarque.: Cette fonction doit utiliser les fonctions valeur_absolue et puissance définies ci-dessus.

Ajouter le jeu de test suivant à la fin du fichier :

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assert est_suffisamment_bon(1.9, 4) == False
assert est_suffisamment_bon(1.999, 4) == False
assert est_suffisamment_bon(1.9999, 4) == True

Réponse

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def est_suffisamment_bon(essai: float, x: float) -> bool:
    """
    Retourne True si la valeur absolue de la différence du carré du nombre essai
    et du nombre x est inférieure à une tolérance donnée (prendre 0.001).
    Retourne False sinon.
    """
    tolerance = 0.001

    return valeur_absolue(puissance(essai, 2) - x) < tolerance

Définir la fonction test qui implémente l’algorithme de Héron d’Alexandrie. La spécification de la fonction est :

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def test(essai: float, x: float) -> float: 
    """ 
    Retourne la racine carrée du nombre x. Le calcul est effectué grâce à un
    raisonnement itératif depuis une première valeur strictement positive notée essai.
    """

Remarque.: Cette fonction doit utiliser les fonctions est_suffisamment_bon et amelioration_essai.

Ajouter le jeu de test suivant à la fin du fichier :

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assert test(2, 4) == 2
assert test(1, 4) == 2.0000000929222947
assert test(7, 4) == 2.0000000271231317

Réponse

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def test(essai: float, x: float) -> float:
    """
    Retourne la racine carrée du nombre x. Le calcul est effectué grâce à un
    raisonnement itératif depuis une première valeur strictement positive notée
    essai.
    """
    while not est_suffisamment_bon(essai, x):
        essai = amelioration_essai(essai, x)
    return essai

Définir la fonction racine_carree dont la spécification est :

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def racine_carree(x: float) -> float: 
    """ 
    Retourne le résultat de l'appel de la fonction test avec la valeur 1 
    pour l'argument essai.
    """

Ajouter le jeu de test suivant à la fin du fichier :

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assert racine_carree(4) == 2.0000000929222947
assert racine_carree(9) == 3.00009155413138
assert racine_carree(16) == 4.000000636692939

Réponse

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def racine_carree(x: float) -> float:
    """
    Retourne le résultat de l'appel de la fonction test avec la valeur 1 pour l'argument essai.
    """

    return test(x, 1)

Définir la fonction main qui affiche à l’écran la liste des racines carrées de tous les nombres pairs compris dans l’intervalle $[1; 100]$ .

Ajouter l’appel de la fonction main à la fin du fichier.

Réponse

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def main():
    return [racine_carree(i) for i in range(1, 100) if i % 2 == 0]